Ejemplos explícitos no triviales en mecánica cuántica: degeneración del estado fundamental

La degeneración del estado fundamental ocurre siempre que existe un operador unitario que actúa de manera no trivial sobre un estado fundamental y conmuta con el hamiltoniano del sistema.

Solo quiero encontrar un potencial. V ( r ) , no es necesario el potencial central, tal que la ecuación de Schrödinger en d-dimensional (sin grados de libertad internos como el espín)

mi Ψ ( r ) = [ − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) ] Ψ ( r )
tiene un estado fundamental degenerado.

Lo he intentado de muchas maneras, pero he fallado.

1 Por ejemplo, dado un potencial V ( r ) , y resolver la energía propia mi 0 , mi 1 ⋯ . quiero construir H ′ = H − ( mi 1 − mi 0 ) | 1 ⟩ ⟨ 1 | , pero esta parte ( mi 1 − mi 0 ) | 1 ⟩ ⟨ 1 | en la posición la representación no es un potencial local.

2 Ciertamente, es fácil construir el sistema cuántico de dimensión finita que tiene degeneración del estado fundamental, es decir, podemos escribir la matriz hamiltoniana como una matriz diagonal con múltiples valores propios más bajos H = d i a gramo ( mi 0 , mi 0 , mi 1 ) . Pero no quiero esta manera trivial.

3 También es fácil construir un sistema mecánico cuántico con un grado de libertad interno como el espín. Y los grados de libertad internos no tienen dinámica. Por ejemplo, modelo de hidrógeno con grado de libertad de espín. Para la energía más baja norte = 1 , yo = 0 , podemos tener s = ± 1 / 2 con la misma energía. Esta forma también es trivial.

4 Y sabemos que el estado de dispersión en 1-dim tiene espectros continuos y cada estado es doblemente degenerado. quiero construir V ( r ) ≥ 0 tal que

límite | r | → ∞ V ( r ) → 0
aunque todos mi > 0 tener degeneración, mi = 0 sigue siendo único.

5 Ciertamente, en 1-dim si V ( X ) es un doble potencial infinito profundo, podemos tener un estado fundamental degenerado. Pero este ejemplo también es trivial.

6 El potencial con simetrías rotas espontáneas, p. V ( X ) = − X 2 + X 4 , también es imposible. Hay una diferencia de energía entre la paridad par y la paridad impar.

Entonces, mi pregunta es, aparte de los ejemplos triviales anteriores, si podemos construir un ejemplo, es decir, en d-dim, una partícula sin dof interno, como el espín, puede tener un estado fundamental degenerado en algún potencial.

Esta pregunta puede ser una pregunta en función diferencial parcial. Si tal V ( r ) no existe, como probar.

No estoy seguro de entender la pregunta: ¿sería suficiente un potencial de pozo doble simétrico? En cualquier caso, puede describir un estado degenerado como un grado interno de libertad si lo desea. No estoy seguro de que la nomenclatura esté completamente bajo control en ese caso. ¿Cuál sería un grado de libertad interno? ¿Qué sería un estado degenerado sino un estado que se transforma de manera no trivial bajo la acción de un operador que conmuta con el hamiltoniano? Para el potencial de pozo doble simétrico, el operador es inversión de espacio: ambas funciones de onda Ψ ( X ) y Ψ ( − X ) dar la misma energía.
Para construir un estado degenerado como un grado de libertad interno, suponga que tiene un potencial de pozo doble. Tiene un estado degenerado en el caso de un potencial simétrico, y los dos estados asociados no son degenerados cuando el potencial está inclinado (es decir, se vuelve asimétrico). Estos estados están separados del resto de los estados propios por una brecha (dado que estamos hablando de mecánica cuántica, solo hablamos de niveles de energía (no de bandas), por lo que siempre existen brechas...). Ahora, proyecte su modelo a los estados propios más bajos, terminará con una imagen de esfera de Bloch que puede representar usando matrices de Pauli.
Dicho de otra manera, el espacio de estados doblemente degenerados es isomorfo al sistema de dos niveles. Debería pensar un poco más para escribir un isomorfismo explícito (y quizás valga la pena una pregunta), pero claramente esto es algo básico en la mecánica cuántica. Abra cualquier libro sobre el sistema de dos niveles, debería ver esta declaración.
@FraSchelle Solo quiero construir un potencial V ( r ) . No es necesario el potencial central, y el problema no es necesario en 1-dim. En este potencial, la ecuación de Schrödinger puede tener un estado fundamental degenerado.
Habría pensado que necesita una barrera de energía potencial infinita que evite los túneles para obtener una degeneración. De lo contrario, considere estados localizados asociados con los mínimos de algún potencial, ψ i ( r ) . Uno puede, creo, siempre bajar la energía mirando una combinación lineal ∑ i C i ψ i ( r ) . En el potencial de pozo doble simétrico mencionado anteriormente, el estado fundamental (único) sería ( ψ 1 ( r ) + ψ 2 ( r ) ) / 2 .
@ usuario2309840 Gracias. Cuenta atrás para el tercer párrafo, he excluido esta posibilidad.
@ user2309840 No estoy seguro de entender su construcción: supongamos ψ 1 y ψ 2 son estados propios degenerados que verifican H ψ 1 , 2 = mi ψ 1 , 2 , entonces claramente ( ψ 1 + ψ 2 ) / 2 es también un estado propio, tiene valor propio 2 mi , mayor que el valor propio de ψ 1 o ψ 2 ...
@ user34669 No estoy seguro de entender su comentario anterior. V ( X ) = − X 2 + X 4 es el potencial de pozo doble explícitamente (agregue algún parámetro no unitario delante de X 2 , 4 si lo desea). ¿Quiere descartar esta posibilidad porque es 1D y paridad simétrica? ¿O es suficiente para ti?
@FraSchelle No serán estados propios exactos. En el mejor de los casos, serán aproximadamente autoestados, y uno puede encontrar un estado con menor energía con el ansatz variacional ( ψ 1 + ψ 2 ) / 2 .
Hay una discusión relevante aquí: mathoverflow.net/questions/27016/…
@FraSchelle Puede verificar este potencial, el estado fundamental sigue siendo único. El estado fundamental es la paridad par, y la energía propia de la paridad impar es mayor que la de la par.

Respuestas (1)

Para un operador hamitoniano como este formulario − Δ + V ( X ) , el estado fundamental siempre es de no degeneración en norte -dim si el potencial es continuo y acotado desde abajo y sea − Δ + V ( X ) ser esencialmente autoadjunto. Puedes ver la prueba en la página 51 James Glimm y Arthur Jaffe's Quantum Physics . O ver la prueba .

Si no limita el hamitoniano a esta forma ( − Δ + V ( X ) ), entonces, si pones un campo magnético, es fácil construir el estado fundamental de degeneración. ver nivel Landau.

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