¿Ecuación de Schrödinger de la ecuación de Klein-Gordon?

Creo que estás mezclando dos cosas diferentes:

1. Primero, puede ver QM como$0+1$(una dimensión temporal) QFT, en la que los operadores de posición (y sus momentos conjugados) en la imagen de Heisenberg desempeñan el papel de los campos (y sus momentos conjugados) en QFT. Puede verificar, por ejemplo, que la simetría rotacional espacial en la teoría mecánica cuántica se traduce en una simetría interna en QFT.

2. En segundo lugar, puede tomar el "límite no relativista" (por cierto, nombre feo porque la relatividad galileana es tan relativista como la relatividad especial) de la teoría de Klein-Gordon o Dirac para obtener Schrödinger QFT "no relativista", donde$\phi$(en su notación) es un campo cuántico en lugar de una función de onda. Hay un capítulo en el libro de Srednicki donde se plantea este tema de una manera sencilla y amena. Allí, también puede leer sobre el teorema de la estadística de espín y la función de onda de los estados de múltiples partículas. Permítanme agregar algunas ecuaciones que espero aclaren eso (estoy usando su notación y, por supuesto, puede haber factores, unidades, etc. incorrectos):

El campo cuántico es:

$$\phi \sim \int d^3p \, a_p e^{-i(p^2/(2m) \cdot t - p \cdot x)}$$

El hamiltoniano es:

$$H \sim i\int d^3x \left( \phi^{\dagger}\partial_t \phi - \frac{1}{2m}\partial _i \phi ^{\dagger} \partial ^i \phi \right) \, \sim \int d^3p \, \frac{p^2}{2m} \,a^{\dagger}_p a_p$$

La evolución del campo cuántico viene dada por:

$$i\partial _t \phi \sim [\phi, H] \sim -\frac{\nabla ^2 \phi}{2m}$$

Los estados de 1 partícula vienen dados por:

$$|1p\rangle \sim \int d^3p \, \tilde f(t,p) \, a^{\dagger}_p \, |0\rangle$$

(uno puede definir análogamente estados de múltiples partículas)

Este estado verifica la ecuación de Schrödinger:

$$H \, |1p\rangle=i\partial _t \, |1p\rangle$$ si y si

$$i\partial _t \, f(t,x) \sim -\frac{\nabla ^2 f(t,x)}{2m}$$

dónde$f(t,x)$es la transformada espacial de Fourier de$\tilde f (t,p)$.

$f(t,x)$es una función de onda, mientras que$\phi (t, x)$es un campo cuántico.

Esta es la teoría libre, se puede agregar interacción de manera similar.

En esta respuesta incluimos para mayor claridad los factores correctos de$\hbar$y$c$en el cálculo del capítulo III.5 de Zee's QFT in a Nutshell.

$$\Phi(\vec{x},t)~=~\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\exp\left(-\frac{imc^2t}{\hbar}\right)\phi(\vec{x},t).\tag{4}$$

La densidad lagrangiana libre de Klein-Gordon es

$$\begin{align} {\cal L} ~=~&\left|\frac{1}{c}\partial_t \Phi\right|^2 - |\nabla \Phi|^2 -|\frac{mc}{\hbar}\Phi|^2\cr ~\stackrel{(4)}{=}~&\left|\left(\frac{\hbar}{c\sqrt{2m}}\partial_t-ic\sqrt{\frac{m}{2}}\right) \phi\right|^2 - \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2 -\frac{mc^2}{2}|\phi|^2\cr ~=~&\left|\frac{\hbar}{c\sqrt{2m}}\partial_t\phi\right|^2 +\frac{i\hbar}{2}\left(\phi^{\dagger}\partial_t\phi-\partial_t \phi^{\dagger}\phi \right)- \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2 \cr ~\longrightarrow& \frac{i\hbar}{2}\left(\phi^{\dagger}\partial_t\phi-\partial_t \phi^{\dagger}\phi \right)- \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2\quad {\rm for }\quad c~\to~\infty. \end{align} \tag{5}$$ La última expresión es la densidad lagrangiana de Schrödinger libre (hasta los términos derivados del espacio-tiempo total), cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.