¿Cómo derivar la teoría de la mecánica cuántica de la teoría cuántica de campos?

El campo y la función de onda se ven similares, pero en realidad no tienen mucho que ver entre sí. El punto principal del campo es agrupar los operadores de creación y aniquilación de una manera conveniente, que podemos usar para construir observables. Como de costumbre, comenzaré con la teoría libre.

Si queremos encontrar una conexión con QM no relativista, la ecuación de campo no es el camino a seguir. Más bien, deberíamos mirar los estados y el hamiltoniano, que son los ingredientes básicos de la ecuación de Schrödinger. Veamos primero el hamiltoniano. El procedimiento usual es comenzar con el Lagrangiano para el campo escalar libre, pasar al Hamiltoniano, escribir el campo en términos de$a$y$a^\dagger$, y conéctelo a$H$. Asumiré que sabe todo esto (se hace en cada capítulo sobre la segunda cuantización en cada libro de QFT), y simplemente use el resultado:

$$H = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, \omega_p\, a^\dagger_p a_p$$

dónde$\omega_p = \sqrt{p^2+m^2}$. También hay un operador de momento$P_i$, que resulta ser

$$P_i = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, p_i\, a^\dagger_p a_p$$

Usando las relaciones de conmutación es sencillo calcular el cuadrado del momento, que necesitaremos más adelante:

$$P^2 = P_i P_i = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, p^2\, a^\dagger_p a_p + \text{something}$$

dónde$\text{something}$da cero cuando se aplica a los estados de una partícula, porque tiene dos operadores de aniquilación uno al lado del otro.

Ahora veamos cómo tomar el límite no relativista. Asumiremos que estamos tratando solo con estados de una partícula. (No sé cuánta pérdida de generalidad es esto; la teoría libre no cambia el número de partículas, por lo que no debería ser un gran problema, y ​​​​también generalmente asumimos un número fijo de partículas en QM regular). Digamos que en la imagen de Schrödinger tenemos un estado que en algún punto se escribe como$|\psi\rangle = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} f(k) |k\rangle$, dónde$|k\rangle$es un estado con tres impulsos$\mathbf{k}$.$f(k)$debe ser distinto de cero sólo para$k \ll m$. Ahora mira lo que sucede si aplicamos el hamiltoniano. Dado que solo tenemos un impulso bajo, en el rango de integración podemos aproximarnos$\omega_p$como$m+p^2/2m$e ignorar la energía de reposo constante$m$.

$$H|\psi\rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m} a^\dagger_p a_p \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} f(k) |k\rangle \\ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m} f(k) a^\dagger_p a_p |k\rangle \\ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m} f(k) (2\pi)^3 \delta(p-k) |k\rangle \\ = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{k^2}{2m} f(k) |k\rangle = \frac{P^2}{2m} |\psi\rangle$$

Así que si$|\psi\rangle$es cualquier estado de una partícula (que es porque los estados de momento definido forman una base), tenemos que$H|\psi\rangle = P^2/2m |\psi\rangle$. En otras palabras, en el espacio de estados de una partícula,$H = P^2/2m$. La ecuación de Schrödinger sigue siendo válida en QFT, por lo que podemos escribir inmediatamente

$$\frac{P^2}{2m} |\psi\rangle = i \frac{d}{dt} |\psi\rangle$$

Esta es la ecuación de Schrödinger para una partícula libre no relativista. Notará que conservé algunos conceptos de QFT, particularmente los operadores de creación y aniquilación. Puedes hacer esto sin problema, pero trabajando con$a$y$a^\dagger$en QM no es particularmente útil porque crean y destruyen partículas, y hemos asumido que la energía no es lo suficientemente alta para hacer eso.

Manejar las interacciones es más complicado y admito que no estoy seguro de cómo incluirlas aquí de forma natural. Creo que parte del problema es que las interacciones en QFT son bastante limitadas en su forma. Tendríamos que empezar con el QED Lagrangiano completo, eliminar el$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$término ya que no estamos interesados ​​en la dinámica del campo EM en sí, tal vez establecer$A_i = 0$si no nos preocupamos por los campos magnéticos, y veamos qué sucede con el hamiltoniano. Ahora mismo no estoy a la altura.

Espero poder convencerlo de que este formalismo novedoso se reduce a QM de una manera significativa. Un mensaje digno de mención es que los campos en sí mismos no tienen mucho significado físico; son solo herramientas convenientes para configurar los estados que queremos y calcular funciones de correlación. Aprendí esto leyendo a Weinberg; Si está interesado en este tipo de preguntas, le recomiendo que también lo haga después de que se sienta más cómodo con QFT.

No estoy seguro de cómo te metiste ese objetivo en la cabeza: es casi seguro que eso no es lo que el segundo texto introductorio de cuantización te dice que hagas. Wikipedia tiene resúmenes decentes del puente entre QFT y QM, a saber, la teoría del campo escalar real ; oscilador cuántico multidimensional ; Osciladores de fonones de celosía .

El campo cuántico 1+1$\psi$que escribiste es un operador, resoluble en

$$\psi(x)=\frac{1}{2\pi} \int dk ~e^{ikx} \phi_k= \frac{1}{2\pi} \int dk ~e^{ikx} (a_k+a_k^\dagger ) \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_k}}~,$$ donde uso la letra más convencional, φ para el operador de campo transformado de Fourier y la abreviatura $\omega_k=\sqrt{k^2+m^2}$de la relación de dispersión KG que postulas.

Entonces, el campo cuántico que escribes es una combinación lineal de una infinidad de modos normales.$a_k$y sus conjugados para una infinidad de operadores de osciladores acoplados nocionales abstractos en una red unidimensional.

La relación de conmutación del operador de campo es equivalente a la relación de conmutación estándar para cada uno de estos osciladores etiquetados por k , y la frecuencia propia de cada uno es la dada anteriormente, todas diferentes. Ya ha terminado: cada oscilador tiene un hamiltoniano$H_k=\hbar \omega_k (a_k^\dagger a_k + 1/2)$, y seguramente puede convertirlo en un eqn de onda de Schroedinger equivalente, pero ¿por qué debería hacerlo? Dirac ya te resolvió el problema en el espacio de Fock: las respuestas siempre están en la mecánica matricial.

De todos modos, puede simplemente fabricar el equivalente$H_k=\hat{p}^2_k/2m_k +m_k \omega^2_k \hat{x}^2_k/2$, que, en algún espacio de coordenadas abstracto,$x_k$, se presenta como un operador de onda$-\hbar^2 \partial_{x_k}^2/2m_k +m_k\omega^2_k x^2_k/2$actuando sobre funciones de onda de número c$\psi_k'(x_k)$; no operadores, como antes, en QFT. Tenga en cuenta además la masa de campo m y la masa absorbible$m_k$de cada oscilador son parámetros completamente independientes y sirven para diferentes propósitos. Realmente no es necesario tomar límites bajos de energía, pero, por supuesto, el modo Goldstone k = 0 está en la parte inferior del espectro.

Por lo tanto, es una idea contraproducente comparar manzanas y naranjas, funciones de campo cuánticas de operadores del espacio-tiempo y una colección infinita de funciones de onda definidas en espacios completamente diferentes: como ahora aprecias, estas actúan en espacios muy diferentes . La x de QFT es nuestro espacio, pero, el infinito$x_k$Los s de QM son espacios nocionales abstractos para cada oscilador, idealmente nunca contemplados...