¿Por qué la divergencia y el rotacional están relacionados con el producto punto y cruz?

En primer lugar, definamos el producto escalar y el producto vectorial entre dos 3 vectores

$$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$

producto escalar:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_i a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2+ a_3b_3$$

producto cruz:

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\a_3 b_1 - a_1 b_3 \\a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$$

Tenga en cuenta que estas definiciones no involucran cantidades geométricas como el ángulo entre los dos vectores; de hecho, es el ángulo el que se define en términos del producto escalar (para los registros,$\cos \theta := \mathbf{a\cdot b}/ \sqrt{\mathbf{(a\cdot a)(b\cdot b)}}$).

Entonces tienes la definición de divergencia y rotacional actuando sobre una función$\mathbf{f}(\mathbf{x}) \equiv \begin{pmatrix}f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x})\end{pmatrix}$($\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3)$; Puedes llamar$x_1=x$,$x_2=y$y$x_3=z$pero mi elección permite una notación compacta):

divergencia :

$$\mathrm{div}\, \mathbf{f} := \frac{\partial }{\partial x_1} f_1+\frac{\partial }{\partial x_2} f_2+\frac{\partial }{\partial x_3} f_3 = \sum_i \frac{\partial }{\partial x_i}f_i \equiv \sum_i {\partial_i}f_i$$ dónde $\partial_i \equiv \partial / \partial x_i$.

rizo :

$$\mathrm{curl} \,\mathbf{f} := \begin{pmatrix} \partial_2 f_3 - {\partial_3 f_2} \\ \partial_3 f_1 - \partial_1 f_3 \\ \partial_1 f_2 - \partial_2 F_1\end{pmatrix}$$

Ahora puedes ver que si introduces la cantidad

$$\nabla = \begin{pmatrix} \partial_1 \\ \partial_2 \\ \partial_3 \end{pmatrix}$$ puedes escribir las operaciones de divergencia y rotacional como si $\nabla$era un vector! De hecho, si aplica la definición de punto y producto cruzado, puede descubrir fácilmente que $$\nabla \cdot \mathbf{f} = \mathrm{div}\, \mathbf{f} \qquad \text{and} \qquad \nabla \times \mathbf{f} = \mathrm{curl}\, \mathbf{f}$$ Puede descubrir que muchas identidades que se mantienen para 3 vectores todavía tienen id, una de ellas es $\nabla$.

Pero tenga en cuenta que este "truco" de pensar para$\nabla$ya que un 3-vector es formal y no todas las identidades que se mantienen para los 3-vectores habituales siguen funcionando.

La forma un tanto arrogante en que los operadores se usan y notan en física (especialmente una vez que llegas a QM) siempre me ha molestado un poco, por lo que definitivamente puedo identificarme. Primero, definamos algunos términos.

Definimos el operador gradiente$\vec{\nabla}$como un vector de derivadas parciales a lo largo de cada coordenada. Aquí, asumiremos cartesiano ya que es más fácil trabajar con él (Griffiths proporciona las formas para coordenadas cilíndricas y esféricas en la portada):

$$\vec{\nabla}=\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$$

Esto se puede aplicar a una función escalar.$f$para obtener$\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{z}$.

La divergencia de una función vectorial$\vec{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$puede ser dado por div$\vec{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$. Si tratamos de formar el "producto escalar" de$\vec{\nabla}$y$\vec{v}$, multiplicamos la magnitud de cada componente con la magnitud del mismo componente del otro vector y luego sumamos. Al hacer esto, aplicamos los operadores derivados que son los componentes de$\vec{\nabla}$, por lo que obtenemos algo que es idéntico a div$\vec{v}$. Por esta razón, aunque el razonamiento todavía es un poco rápido y poco estricto desde el punto de vista de un matemático, podemos escribir razonablemente:

división$\vec{v}=\vec{\nabla}\cdot \vec{v}$.

Un argumento similar a los rendimientos anteriores:

rizo$\vec{v}=\vec{\nabla}\times\vec{v}$.

El mecanismo de la divergencia como producto escalar ha sido bien explicado por otras respuestas. Presentaré algunas observaciones bastante informales pero intuitivas que pueden convencerlo de por qué el rizo es un producto cruzado.

1. La regla de la mano derecha para productos cruzados se sigue naturalmente en el rizo. Recuerda que la regla de la mano derecha te dice en qué dirección apuntará el vector generado por un producto vectorial. Esto es necesario porque el producto vectorial nos da un vector ortogonal a los dos vectores originales, pero existe una ambigüedad ya que hay más de un vector que satisface la ortogonalidad. Ahora considere el siguiente campo vectorial:

Dobla los dedos de tu mano derecha y notarás que tu pulgar apunta en la dirección en que lo hacen todos los vectores en el diagrama del giro del campo antes mencionado:

Acaba de tomar el producto cruzado del operador del con el campo vectorial, y la gráfica resultante del rotacional es consistente con la regla de la mano derecha.

2. El momento de torsión ejercido sobre un pequeño palo inmovilizado en su centro en un campo vectorial (vientos de imagen o agua en movimiento) es proporcional a la curvatura del campo vectorial en ese punto. Esto se debe tanto a la intuición como al hecho de que el par se define como la fuerza cruzada con la distancia desde el pivote al que se aplicó la fuerza.

Me encanta esta pregunta y tenía mucha curiosidad al respecto, así que creé un video 3blue1brown para responderla con el video a continuación. Yo diría que uno no entiende/aprecia completamente la divergencia, el rizo o las ecuaciones de Maxwell a menos que entienda esto. Aquí está la versión en pocas palabras:

Esta conexión es difícil de conceptualizar porque el operador del,$\nabla ,$no es un vector típico. Como un parásito o un virus, no tiene sentido por sí solo y necesita un 'huésped' para 'operar'. Si bien no puede pensar en él como un vector real, puede tratarlo como tal y usar los procesos estándar para productos punto y cruz. Esto produce las ecuaciones para la divergencia y el rotacional como se muestra a continuación, que simplemente se reducen a encontrar 4 componentes:$\frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x},$y$\frac{\partial P}{\partial y}$.

Si tu$\frac{\partial P}{\partial x}$y$\frac{\partial Q}{\partial y}$son positivos, esto significa que$x$y$y$Los componentes de tus vectores se hacen más grandes cuando te mueves en el$x$y$y$dirección, respectivamente, que corresponde a la divergencia positiva. Si tu$\frac{\partial Q}{\partial x}$y$\frac{\partial P}{\partial y}$son positivas y negativas, respectivamente, esto significa que la$y$y$-x$Los componentes de tus vectores se hacen más grandes cuando te mueves en el$x$y$y$dirección, respectivamente, que corresponde a la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj o rotacional positivo.

El campo vectorial que se ilustra a continuación tiene un valor positivo más grande$\frac{\Delta P}{\Delta x}$valor que es negativo$\frac{\Delta Q}{\Delta y}$valor, correspondiente a una divergencia ligeramente positiva. También tiene algo positivo$\frac{\Delta Q}{\Delta x},$y negativo$\frac{\Delta P}{\Delta y}$, correspondiente a un rizo positivo (en sentido contrario a las agujas del reloj).

Intento explicar esto más claramente en el video si deseas verlo, ¡y déjame saber si deseas discutir más! https://youtu.be/k7WyPNWerN0