Condiciones en un campo vectorial para representar un campo magnético

Cualquier campo estático con divergencia cero, es decir, que obedece la ley magnética de Gauss$\nabla\cdot\mathbf B=0$, es un campo magnético válido. El rotacional del campo puede ser cualquier cosa: si es distinto de cero, entonces requiere una densidad de corriente$\mathbf J$para sostenerlo, dado por la ley de Ampère

$$\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J.$$ En principio, este rotacional puede ser cualquier campo vectorial adecuado, aunque debido a que es un rotacional se requiere que tenga divergencia cero, es decir $\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf B )= \mu_0\nabla \cdot\mathbf J=0$, que debe suceder de todos modos en una situación estática, debido a la conservación de la carga.

Si no hay corrientes, es decir, en el vacío, entonces sí, el campo magnético tendrá un rizado cero. La mayoría de los ejemplos habituales de campos magnéticos entran en esta categoría, y es muy posible que un campo magnético tenga cero divergencia y cero rotaciones (¿quiere un ejemplo simple? Pruebe con un campo constante).

Sin embargo, es importante tener en cuenta que, por lo general, desea que su campo magnético tenga fuentes en algún lugar , y esto significa que la condición en el vacío$\nabla\times\mathbf B=0$solo se mantendrá para alguna región restringida en el espacio. Con este espíritu, es posible tener un campo vectorial sin divergencia ni rizo definido en todo el espacio, pero esto requiere su energía magnética.$U=\frac{\mu_0}{2}\int|\mathbf B|^2\mathrm d\mathbf r$ser infinito, que es tan poco físico como un campo magnético estático distinto de cero sin fuentes.

---

Sin embargo, si desea un campo dependiente del tiempo, el problema cambia un poco. En lo que respecta a las ecuaciones magnéticas de Maxwell,

$$\nabla\cdot\mathbf B=0 \text{ and } \nabla\times\mathbf B = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}+\mu_0\mathbf J,$$ cualquier campo vectorial sin divergencia puede, en principio, interpretarse como un campo magnético. Sin embargo, esto requiere que encontremos un conjunto de fuentes, $\mathbf J$y $\rho$y, lo que es más importante, un campo eléctrico $\mathbf E(\mathbf r,t)$, para acompañarlo, o todo es un poco discutible. Esto significa, por lo tanto, que necesitamos darle un poco de vuelta a las ecuaciones de Maxwell, y ahora se vuelven $$\begin{align} \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}+\mu_0\mathbf J & = \nabla\times\mathbf B \\ \nabla\times\mathbf E & = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \end{align}$$ como un problema a resolver $\mathbf E$y $\mathbf J$, que generalmente siempre tiene solución.

¿Qué condiciones tiene que cumplir el rotacional de un campo vectorial para representar un campo magnético?

Probablemente ninguno, excepto la propia ecuación de Maxwell.

La ecuacion

$$\nabla\cdot \mathbf B = 0$$

restringe el conjunto de posibles campos magnéticos, porque el lado derecho es constante en el tiempo y no hay otra variable en la ecuación que$\mathbf B$. Este tipo de ecuación a veces se denomina ecuación de restricción .

La ecuacion

$$\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf j + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t},$$ en cambio, no tiene parte constante; ambos $\mathbf j$y $\mathbf E$son funciones desconocidas de tiempo y posición. Entonces esta ecuación por sí misma no define ninguna restricción que delimite un conjunto de posibles $\mathbf B$.

Como dice hyportnex, la condición para un campo magnético estático en el vacío (gracias Emilio por la corrección) es que$\nabla \times {\bf B} = 0$.

Es posible que un campo magnético tenga tanto divergencia nula como rotación nula . Una base de soluciones tiene la forma${\bf B}_{l,m} \propto - \nabla \left( r^l Y_{l,m}(\theta,\phi) \right)$dónde$Y_{l,m}$son armónicos esféricos reales . Creo que Jackson llama a estas "soluciones interiores" a la ecuación de Laplace. Las "soluciones exteriores" correspondientes son de la forma${\bf B}_{l,m} \propto -\nabla ( r^{-l-1} Y_{l,m} )$.

Creo que la forma más sencilla de decir si un campo determinado es plausiblemente un campo magnético es que tiene cero divergencia y cero rotaciones, sin embargo, esto se aplica solo a situaciones estáticas.