¿Cómo el significado físico de curl está de acuerdo con estos escenarios?

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¿Cómo el significado físico de curl está de acuerdo con estos escenarios?

Física
campos vectoriales
diferenciación
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell

Anónimo

En los capítulos básicos de Electrodinámica , me presentaron el concepto de rotacional de un campo vectorial. Se definió de la siguiente manera

\nabla \times A = | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial X} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_{X} & A_{y} & A_{z} \end{matrix} |

$\nabla \times \mathbf A = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$

Bueno, está bien, esto nos da la descripción matemática del rizo, pero deseaba el significado físico, así que hice una búsqueda y encontré que

El rotacional de un campo vectorial mide la tendencia del campo vectorial a girar alrededor.

(el video de Grant Sanderson también le da casi el mismo significado físico al rizo)

Pero echemos un vistazo al campo magnético creado por un cable recto largo en el $x$ eje y la corriente fluye en la dirección de positivo $x$ eje. Sabemos que el campo será circular y concéntrico al alambre,

por las ecuaciones de Maxwell que tenemos para el caso anterior

\nabla \times B = m_{0} j

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ pero mi problema es por punto

A

$A$ la densidad de corriente es cero, por lo tanto, según la ecuación, el rotacional también será cero en el punto A, es decir

\nabla \times B (A) = 0

$\nabla \times \mathbf B(A) = 0$ pero podemos ver muy claramente que hay una rotación en el punto

A

$A$ y tiene una tendencia a arremolinarse .

Ahora, echemos un vistazo al campo de un dipolo,

en el punto $A$ podemos ver muy bien que hay un giro pero las Leyes de Maxwell dicen

\nabla \times mi = 0

$\nabla \times \mathbf E = 0$ para todos los puntos.

Necesito una explicación de cómo la definición física de curl está de acuerdo con dos de los muchos escenarios que he descrito anteriormente.

¿Podemos deducir algo sobre el campo si se conocen los componentes de rotacional? Por ejemplo, si tenemos

{(\nabla \times A)}_{X} = C

$\left ( \nabla \times \mathbf A \right)_x = C$

{(\nabla \times A)}_{y} = 0

$\left ( \nabla \times \mathbf A\right)_y = 0$

{(\nabla \times A)}_{z} = 0

$\left ( \nabla \times \mathbf A \right)_z = 0$ ¿Podemos deducir del significado físico de curl que

A

$\mathbf A$ se arremolinará sólo en

x

$x$ dirección y será rectilíneo con respecto a

y and z

$y ~\textrm{and}~z$ ¿dirección? Porque si el rotacional nos da la cantidad de rotación, entonces parece plausible concluir que

A

$\mathbf A$ tendrá rotación cero en

y

$y$ y

z

$z$ dirección, pero tampoco tiene sentido tener una rotación en solo

x

$x$ dirección. Necesito una explicación de cómo esta otra cosa (significa dado el rizo y deduciendo el campo) está de acuerdo con su definición física.

Todas estas dudas surgen solo porque le hemos asignado un significado físico al rizo.

ACTUALIZACIÓN : en este enlace que @AjayMohan ha proporcionado, se afirma que "es difícil pensar en la rotación en un solo punto" y "los campos no giran como un cuerpo sólido", pero el enlace no parece aclarar estos asuntos. Me resulta muy difícil pensar en la rotación con ese ejemplo de rueda de paletas, y cómo solo $x$ componente de rotación implica (otros dos componentes son cero) que la rueda girará a lo largo de la $x$ eje.

knzhou

Creo que debes volver a ver el video que vinculaste. Curl es la cantidad de remolinos del campo alrededor de un punto . Lo evalúa mirando la vecindad de un solo punto solamente. En particular, el " giro " (como dices) de las líneas de campo no tiene nada que ver con el rizo.

usuario240696

@knzhou He vuelto a ver el video, dijo que si ponemos algo como una ramita en un punto, el rizo es la medida de la cantidad de giro que se causaría.

usuario240696

Ahora, estoy confundido, ¿cómo rotaría la ramita si las flechas la empujaran en la misma dirección?

Ajay Mohan

@Knight Si la fuerza del empuje es diferente en diferentes puntos de la ramita, entonces la ramita puede girar.

biofísico

Pregunta relacionada, o posiblemente un duplicado: Comprensión conceptual de Zero Curl en la ley de Ampere

usuario240696

@AaronStevens Mi pregunta es diferente del enlace que ha proporcionado porque 1. Mi pregunta es realmente sobre el significado físico del rizo y he dicho que el ejemplo de la rueda de paletas es muy difícil de entender para mí. 2. Mi pregunta es sobre todo tipo de campos, no solo sobre la ley de Ampere. 3. La segunda parte de mi pregunta (deduciendo la naturaleza del campo a partir de su curvatura) es exclusiva de mi publicación.

usuario240696

@AaronStevens Sin embargo, encontré su enlace relacionado con mi hilo de alguna manera.

Respuestas (2)

¿Cómo el significado físico de curl está de acuerdo con estos escenarios?

Creo que debes volver a ver el video que vinculaste. Curl es la cantidad de remolinos del campo alrededor de un punto . Lo evalúa mirando la vecindad de un solo punto solamente. En particular, el " giro " (como dices) de las líneas de campo no tiene nada que ver con el rizo.
@knzhou He vuelto a ver el video, dijo que si ponemos algo como una ramita en un punto, el rizo es la medida de la cantidad de giro que se causaría.
Ahora, estoy confundido, ¿cómo rotaría la ramita si las flechas la empujaran en la misma dirección?
@Knight Si la fuerza del empuje es diferente en diferentes puntos de la ramita, entonces la ramita puede girar.
Pregunta relacionada, o posiblemente un duplicado: Comprensión conceptual de Zero Curl en la ley de Ampere
@AaronStevens Mi pregunta es diferente del enlace que ha proporcionado porque 1. Mi pregunta es realmente sobre el significado físico del rizo y he dicho que el ejemplo de la rueda de paletas es muy difícil de entender para mí. 2. Mi pregunta es sobre todo tipo de campos, no solo sobre la ley de Ampere. 3. La segunda parte de mi pregunta (deduciendo la naturaleza del campo a partir de su curvatura) es exclusiva de mi publicación.
@AaronStevens Sin embargo, encontré su enlace relacionado con mi hilo de alguna manera.

Ajay Mohan · Answer 1

En el enlace que OP ha citado, el autor escribe lo siguiente.

El rotacional de un campo vectorial [en un punto dado] mide la tendencia del campo vectorial a girar alrededor [del punto dado].

El remolino es diferente de una mera curvatura del campo vectorial. Si la oración se malinterpreta, parecería implicar que si un campo vectorial simplemente se curva en algún punto, entonces definitivamente tiene una curvatura distinta de cero en ese punto.
Esta mala interpretación no es cierta: por ejemplo, esta respuesta de Math.SE (y los ejemplos que OP ha mencionado).
La característica de remolino es difícil de determinar a partir de una simple inspección visual del campo.

En cambio, una buena interpretación intuitiva es imaginar que el campo vectorial en cuestión es la velocidad de flujo de un fluido y sostener una rueda de paletas lo suficientemente pequeña en el punto de interés: si gira, entonces tiene una rotación distinta de cero en ese punto. . Esta es la interpretación que da 3Blue1Brown en el video .
Si el $x$ componente del rotacional de un campo vectorial es el único componente distinto de cero en el punto $P$ , entonces, usando la interpretación de la rueda de paletas, significa que si sostengo mi rueda de paletas en el punto $P$ y oriente a lo largo de la $x$ eje, girará. Del mismo modo, si en cambio oriento mi rueda de paletas a lo largo de la $y$ o $z$ eje, no girará.

Pero el problema es ¿qué significa el remolino ? Ha declarado en su respuesta que es diferente de curvar , pero no ha descrito qué es. Además, en su enlace MSE, tavien ha dicho que es problemático pensar en la rotación sobre un punto, pero tampoco lo resuelve.

sanaris · Answer 2

Como entendí, le gustaría saber cómo "líneas de fuerza" del campo vectorial $A$ Están relacionados a $\nabla \times A$ . Por definición, "línea de fuerza" es la línea que consta de partes infinitesimales $\vec{dl}=[dx,dy,dz]^T$ que son colineales a las componentes de $\vec{A}$ :

\frac{d X}{A_{X} (X, y, z)} = \frac{d y}{A_{y} (X, y, z)} = \frac{d z}{A_{z} (X, y, z)} .

$\frac{dx}{A_x(x,y,z)} = \frac{dy}{A_y(x,y,z)} = \frac{dz}{A_z(x,y,z)}.$

Hay una relación interesante, de hecho. Mira la expresión curl :

(\nabla \times A)_{z} = \frac{\partial}{\partial X} A_{y} - \frac{\partial}{\partial y} A_{X},

$(\nabla\times A)_z=\frac{\partial}{\partial x} A_y - \frac{\partial}{\partial y} A_x,$ que se parece mucho a la expresión de variables barajadas para la dirección del vector a lo largo de la "línea de fuerza".

Cuando lo integras de acuerdo con el teorema de Gauss-Ostrogradsky-Stokes

\int \nabla \times A d S = \oint_{L} A \cdot d yo = \oint_{L, d yo ⊥ A} A \cdot d yo + \oint_{L, d yo | | A} A \cdot d yo,

$\int \nabla\times A\, dS = \oint_{L} A\cdot dl = \oint_{L,dl\perp A} A\cdot dl + \oint_{L,dl||A} A\cdot dl,\label{roteq}$ puede elegir la ruta de integración que consta de dos partes: dividirla colineal al vector y perpendicular y el primer término siempre será cero y el segundo término no tendrá ninguno

\cos α

$\cos\alpha$ tipo de términos.

PD. Más aún, cuando tu campo tiene significado de fuerza , entonces $\int A\,dl$ tendrá significado de trabajo . entonces teniendo $\oint A\,dl = 0$ (que equivale a $\nabla\times A=0$ ) tendrá el significado de que el trabajo circular es igual a cero, lo que le permitirá asociar la energía potencial con su campo de fuerza $A$ . Es por eso que los campos que tienen $\nabla\times A=0$ También se denominan campos de potencial . Puedes introducir potencial escalar $\phi$ . Y después de eso, sus líneas vectoriales coincidirán con $\nabla\phi$ .

PS2. Lo que llamas "giro" significa que las líneas de fuerza están teniendo su curvatura. Esto es totalmente normal porque las líneas de fuerza son paralelas entre sí solo en una ubicación infinitesimal para condiciones específicas como "sin cargas puntuales, sin corrientes puntuales" (lejos de los llamados puntos singulares en la teoría de ecuaciones diferenciales).

El significado físico de "giro" que observa está conectado a un orden superior de diferenciales.

PS3. Esa ecuación para curl $\eqref{roteq}$ ahora se convierte

\nabla \times A = \frac{1}{d S} (\int_{1 \to 2}^{yo mi F t} A d yo + \int_{2 \to 1}^{r i gramo h t} A d yo) = \frac{1}{d S} \int_{1 \to 2} (A_{yo mi F t} - A_{r i gramo h t}) d yo,

$\nabla\times A = \frac{1}{dS} \Big(\int_{1\rightarrow2}^{left} A\,dl + \int_{2\rightarrow1}^{right} A\,dl \Big)=\frac{1}{dS} \int_{1\rightarrow2} (A_{left}-A_{right})\,dl,$ donde integra la diferencia entre el valor izquierdo y derecho a lo largo de las líneas de fuerza derecha e izquierda (a lo largo de una tira delgada) y luego divide por el área cuadrada de la tira.

¿Puede explicar la definición de "línea de fuerza"? Lo encontré bastante nuevo. Por cierto, tu primer párrafo realmente describe mi problema. Gracias por entenderme.

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