El extraño carácter del operador ∇∇\nabla

Question

El extraño carácter del operador ∇∇\nabla

Física
operadores
campos vectoriales
diferenciación
electromagnetismo
geometría diferencial

usuario240696

Conocí por primera vez la operación matemática gradiente, divergencia y rotacional no en Matemáticas sino durante mis estudios de Electromagnetismo. Como todos saben, aprender Matemáticas de un profesor de Física siempre conduce a algunos conceptos erróneos gigantes.

Estudié esa divergencia de un campo vectorial $\mathbf A$ es

d i v A = \frac{\partial A_{X}}{\partial X} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}

$div~\mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

Y de manera similar se definieron la divergencia y el rotacional (escribiendo el div y rotacional antes de la función de valor vectorial en LHS). Después de esto el símbolo $\nabla$ fue introducido y se dijo en mi libro (Feynman Lectures on Physics Vol 2, Griffiths Introduction to Electrodynamics) que $\nabla$ era un vector

\nabla = ⟨ \frac{\partial}{\partial X}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} ⟩

$\nabla =\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \rangle$ Entonces, la divergencia es nuestro producto escalar normal, la divergencia de cualquier campo vectorial

A

$\mathbf{A}$ Se puede escribir como

d i v A = ⟨ \frac{\partial}{\partial X}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} ⟩ \cdot ⟨ A_{X}, A_{y}, A_{z} ⟩

$div~\mathbf{A} = \langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \rangle ~\cdot~ \langle A_x, A_y , A_z \rangle$

d i v A = \nabla \cdot A

$div~\mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A}$ Entonces, la divergencia es solo el producto escalar de

\nabla

$\nabla$ con el campo cuya divergencia queremos. Mi primera duda es que en álgebra vectorial podemos escribir

A \cdot B = B \cdot A

$\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf B \cdot \mathbf A$ pero cuando se trata de nuestro

\nabla

$\nabla$ encontramos

\nabla \cdot A \neq A \cdot \nabla

$\nabla \cdot \mathbf A \neq \mathbf A \cdot \nabla$ el RHS en la relación anterior es otra cosa.

El segundo problema viene cuando definimos el producto. $\nabla$ con algún otro vector, sabemos por el álgebra vectorial

A \cdot (B \times C) = B \cdot (C \times A) = C \cdot (A \times B)

$\mathbf A \cdot \left( \mathbf B \times \mathbf C \right) = \mathbf B \cdot \left ( \mathbf C \times \mathbf A \right ) = \mathbf C \cdot \left ( \mathbf A \times \mathbf B \right )$ Ahora, si reemplazamos

A

$\mathbf A$ por

\nabla

$\nabla$ entonces

\nabla \cdot (B \times C) \neq B \cdot (C \times \nabla) \neq C \cdot (\nabla \times B)

$\nabla \cdot \left ( \mathbf B \times \mathbf C \right) \neq \mathbf B \cdot \left ( \mathbf C \times \nabla \right) \neq \mathbf C \cdot \left ( \nabla \times \mathbf B \right)$

Alguna gente dice $\nabla \cdot \left (\mathbf B \times \mathbf C\right)$ debe verse como el derivado de un producto, incluso si lo aceptamos de esa manera, también tenemos pocos problemas, lo sabemos

\frac{d}{d \vec{r}} (B (\vec{r}) \times C (\vec{r})) = B^{'} (\vec{r}) \times C (\vec{r}) + B (\vec{r}) \times C^{'} (\vec{r})

$\frac{d}{d\vec r} \left( \mathbf B (\vec r) \times \mathbf C (\vec r) \right) = \mathbf B'(\vec r) \times \mathbf C (\vec r) + \mathbf B(\vec r) \times \mathbf C '(\vec r)$ pero reemplazando

\frac{d}{d \vec{r}}

$\frac{d}{d\vec r}$ por

\nabla

$\nabla$ y escribir el RHS tal como está no es tan indiscutible, verá que tenemos muchas opciones

\nabla \cdot (B \times C) = (\nabla \cdot B) C + B (\nabla \cdot C)

$\nabla \cdot \left (\mathbf B \times \mathbf C \right) = \left ( \nabla \cdot \mathbf B \right) \mathbf C + \mathbf B \left ( \nabla \cdot \mathbf C\right)$

\nabla \cdot (B \times C) = (\nabla \times B) C + B (\nabla \times C)

$\nabla \cdot \left (\mathbf B \times \mathbf C \right) = \left (\nabla \times \mathbf B \right) \mathbf C + \mathbf B \left ( \nabla \times \mathbf C\right)$

\nabla \cdot (B \times C) = (B \times \nabla) C + B (\nabla \times C)

$\nabla \cdot \left (\mathbf B \times \mathbf C \right) = \left ( \mathbf B \times \nabla \right) \mathbf C + \mathbf B \left ( \nabla \times \mathbf C\right)$
Hay tres más, pero no lo escribo porque todos ustedes tienen una idea de lo que estoy diciendo. Quiero saber por qué elegimos este

\nabla \cdot (A \times B) = (\nabla \times A) \cdot B + A \cdot (B \times \nabla)

$\nabla \cdot \left( \mathbf A \times \mathbf B \right) = (\nabla \times \mathbf A) \cdot \mathbf B + \mathbf A \cdot ( \mathbf B \times \nabla)$ de los otros.

Les pido a todos que describan el carácter real del operador. $\nabla$ y aclarar mis dudas que te he descrito anteriormente. Necesito una explicación de por qué $\nabla$ fue definido de una manera tan extraña.

Tomas Fritsch

\nabla

$\mathbf\nabla$ es un operador, es decir, está destinado a operar sobre la cosa escrita en su lado derecho. Por lo tanto, escribir

A \cdot \nabla

$\mathbf A\cdot \mathbf\nabla$ no tiene sentido Estás estirando demasiado la notación.

mis2cts

@ThomasFritsch Tiene sentido, ya que se deriva de la regla de la cadena de diferenciación. Puede ver la expresión completa como un operador.

mis2cts

La última ecuación es incorrecta, consulte en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities .

usuario240696

@ my2cts ¿Por qué es incorrecto? En el enlace que te han dado en el último apartado, reglas de productos cruzados, da la misma ecuación que he escrito.

usuario240696

@my2cts ¿Estás señalando

B \times \nabla

$\mathbf B \times \nabla$ ? Pensé que podríamos escribir

B \times \nabla

$\mathbf B \times \nabla$ como

- \nabla \times B

$- \nabla \times \mathbf B$ y por lo tanto la ecuación se convertirá en forma estándar.

Anders Sandberg

Creo que estirar demasiado la notación (como científico informático, podría decir que la estamos sobrecargando) es el problema clave: el tratamiento estándar ignora el carácter del operador de

\nabla

$\nabla$ , finge que es un vector y simplemente evita hacer fórmulas donde las cosas se vuelven extrañas porque los estudiantes aún no están acostumbrados a los operadores.

usuario240696

@AndersSanberg Sí, estoy de acuerdo contigo, gracias por tus palabras de aliento (las encuentro alentadoras).

mis2cts

A \cdot (B \times \nabla)

$\mathbf A \cdot ( \mathbf B \times \nabla)$ es un operador, mientras que

A \cdot (\nabla \times B)

$\mathbf A \cdot ( \nabla \times \mathbf B )$ puede ser un operador, o simplemente un número escalar. Esto depende de cómo interpretes el

\nabla

$\nabla$ . Puede permitir que opere con todo lo que esté a su derecha o solo con el objeto inmediatamente posterior. En este último caso

A \cdot (\nabla \times B)

$\mathbf A \cdot ( \nabla \times \mathbf B )$ $ no tiene significado. Entonces, lo primero que debe preguntarse es si mi expresión es un operador que trabaja en algo a la derecha, como una función de onda, o es un número.

david hamen

Re Como todos saben, aprender Matemáticas de un profesor de Física siempre conduce a algunos conceptos erróneos gigantes. Aprender matemáticas de un profesor de matemáticas a menudo conduce a conceptos erróneos aún mayores. El problema es que no has desarrollado una tolerancia al abuso de la notación. Las matemáticas, como la física, están repletas de abusos de notación. Otra forma de decirlo: "El estudiante de matemáticas tiene que desarrollar tolerancia a la ambigüedad. La pedantería puede ser enemiga de la perspicacia". Gila Hanna

usuario240696

@DavidHammen Realmente me gustaría que escribieras una respuesta, quiero saber cómo se abusó de la notación . Entonces, si no le importa, escriba una respuesta explicativa. He aprendido de los comentarios que escribir cualquier cosa antes

\nabla

$\nabla$ es bastante sin sentido.

mis2cts

@Knight Por el contrario, es completamente claro y consistente.

usuario240696

@ my2cts Me confundí bastante si nabla es un operador o un vector o ambos.

G. Smith

escribir cualquier cosa antes de ∇ no tiene sentido. Eso no es cierto.

A \cdot \nabla

$\mathbf{A}\cdot\nabla$ es el operador diferencial escalar

A_{x} \partial / \partial x + A_{y} \partial / \partial y + A_{z} \partial / \partial z

$A_x\partial/\partial x+A_y\partial/\partial y+A_z\partial/\partial z$ . Similarmente,

A \times \nabla

$\mathbf{A}\times\nabla$ es un operador diferencial vectorial bien definido.

G. Smith

Me confundí bastante si nabla es un operador o un vector o ambos. Es un operador vectorial . Esto no es lo mismo que ser un vector y un operador. Como has visto, no obedece a unas identidades que sí obedecen a los vectores ordinarios.

G. Smith

Pensé que podríamos escribir 𝐁×∇ como −∇×𝐁 No. No son lo mismo. ¡Simplemente escríbalo en componentes cartesianos!

G. Smith

carácter extraño del operador $\nabla$ Piensas que es extraño porque es el primer operador vectorial que has visto, y crees que debería funcionar como cualquier vector ordinario. no lo hace

Respuestas (2)

El extraño carácter del operador ∇∇\nabla

$\mathbf\nabla$ es un operador, es decir, está destinado a operar sobre la cosa escrita en su lado derecho. Por lo tanto, escribir $\mathbf A\cdot \mathbf\nabla$ no tiene sentido Estás estirando demasiado la notación.
@ThomasFritsch Tiene sentido, ya que se deriva de la regla de la cadena de diferenciación. Puede ver la expresión completa como un operador.
La última ecuación es incorrecta, consulte en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities .
@ my2cts ¿Por qué es incorrecto? En el enlace que te han dado en el último apartado, reglas de productos cruzados, da la misma ecuación que he escrito.
@my2cts ¿Estás señalando $\mathbf B \times \nabla$ ? Pensé que podríamos escribir $\mathbf B \times \nabla$ como $- \nabla \times \mathbf B$ y por lo tanto la ecuación se convertirá en forma estándar.
Creo que estirar demasiado la notación (como científico informático, podría decir que la estamos sobrecargando) es el problema clave: el tratamiento estándar ignora el carácter del operador de $\nabla$ , finge que es un vector y simplemente evita hacer fórmulas donde las cosas se vuelven extrañas porque los estudiantes aún no están acostumbrados a los operadores.
@AndersSanberg Sí, estoy de acuerdo contigo, gracias por tus palabras de aliento (las encuentro alentadoras).
$A \cdot (B \times \nabla)$ $\mathbf A \cdot ( \mathbf B \times \nabla)$ es un operador, mientras que $A \cdot (\nabla \times B)$ $\mathbf A \cdot ( \nabla \times \mathbf B )$ puede ser un operador, o simplemente un número escalar. Esto depende de cómo interpretes el $\nabla$ . Puede permitir que opere con todo lo que esté a su derecha o solo con el objeto inmediatamente posterior. En este último caso $\mathbf A \cdot ( \nabla \times \mathbf B )$ $ no tiene significado. Entonces, lo primero que debe preguntarse es si mi expresión es un operador que trabaja en algo a la derecha, como una función de onda, o es un número.
Re Como todos saben, aprender Matemáticas de un profesor de Física siempre conduce a algunos conceptos erróneos gigantes. Aprender matemáticas de un profesor de matemáticas a menudo conduce a conceptos erróneos aún mayores. El problema es que no has desarrollado una tolerancia al abuso de la notación. Las matemáticas, como la física, están repletas de abusos de notación. Otra forma de decirlo: "El estudiante de matemáticas tiene que desarrollar tolerancia a la ambigüedad. La pedantería puede ser enemiga de la perspicacia". Gila Hanna
@DavidHammen Realmente me gustaría que escribieras una respuesta, quiero saber cómo se abusó de la notación . Entonces, si no le importa, escriba una respuesta explicativa. He aprendido de los comentarios que escribir cualquier cosa antes $\nabla$ es bastante sin sentido.
@Knight Por el contrario, es completamente claro y consistente.
@ my2cts Me confundí bastante si nabla es un operador o un vector o ambos.
escribir cualquier cosa antes de ∇ no tiene sentido. Eso no es cierto. $\mathbf{A}\cdot\nabla$ es el operador diferencial escalar $A_x\partial/\partial x+A_y\partial/\partial y+A_z\partial/\partial z$ . Similarmente, $\mathbf{A}\times\nabla$ es un operador diferencial vectorial bien definido.
Me confundí bastante si nabla es un operador o un vector o ambos. Es un operador vectorial . Esto no es lo mismo que ser un vector y un operador. Como has visto, no obedece a unas identidades que sí obedecen a los vectores ordinarios.
Pensé que podríamos escribir 𝐁×∇ como −∇×𝐁 No. No son lo mismo. ¡Simplemente escríbalo en componentes cartesianos!
carácter extraño del operador $\nabla$ Piensas que es extraño porque es el primer operador vectorial que has visto, y crees que debería funcionar como cualquier vector ordinario. no lo hace

adam chalcraft · Answer 1

Que no es $\nabla$ que se está comportando de forma extraña, es $\frac{d}{d x}$ . Notas que $A\cdot\nabla\ne\nabla\cdot A$ , con lo que quieres decir $A\cdot\nabla f\ne\nabla\cdot(A f)$ en general para una función de prueba $f$ . Pero también es cierto que $g\frac{d}{d x}\ne\frac{d}{d x}g$ , en el mismo sentido que $g\frac{d f}{d x}\ne\frac{d}{d x}(g f)$ en general. Esa segunda declaración es sobre funciones. $f, g:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ y no tiene nada que ver con los vectores. No pensarías en tratar $\frac{d}{d x}$ como un número real, por lo que no debe tratar $\nabla$ como un vector y esperar que todo funcione.

Para bien o para mal, resulta que grad, div y curl pueden escribirse convenientemente como $\nabla f$ , $\nabla\cdot A$ y $\nabla\wedge A$ respectivamente. Es tradicional escribir $\nabla^2$ para el operador $\nabla^2 f=\nabla\cdot(\nabla f)$ , y a veces también para el operador $\nabla^2 A=\nabla(\nabla\cdot A)$ . Finalmente, $\nabla\wedge\nabla=0$ en el sentido de que $\nabla\wedge(\nabla f)=0$ . Pero para relaciones más complicadas entre estos operadores, no debe esperar que ocurra una coincidencia tan nítida.

mis2cts · Answer 2

Todas las propiedades se derivan directamente de la definición de la ecuación 2 y de la definición de los productos punto y vectorial. Por cierto, si los vectores A, B, C son constantes , se aplican las mismas reglas que para los vectores ordinarios.

La mejor manera de lidiar con tales cantidades es abandonar la notación de vector y producto vectorial y trabajar con el tensor Levi-Civita 3D totalmente antisimétrico. $\epsilon_{ijk}$ , que es 1 si ijk es una permutación par de 123, -1 si es una permutación impar y 0 en caso contrario. Con esto

\nabla \cdot (A \times B) = \nabla_{i} ϵ_{i j k} A_{j} B_{k} .

$\nabla \cdot \left( \mathbf A \times \mathbf B \right) = \nabla_i \epsilon_{ijk} A_j B_k \,.$ Se entiende la sumatoria sobre i,j,k. Una relación útil es

ϵ_{i j k} ϵ_{i yo metro} = d_{j yo} d_{k metro} - d_{j metro} d_{k yo}

$\epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}$ .

Mis disculpas, pero mi conocimiento matemático ha llegado solo a la introducción de Tensor, por lo que no puedo entender ese Levi-Civita Tensor.
Aprendí que los vectores son solo un tensor de rango y podemos representar tensores en una matriz, ¿cómo debo comenzar mi estudio de tensores?
En este caso, $\nabla_i\epsilon_{i j k}A_j B_k$ medio $\frac{d}{d X} (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) + \frac{d}{d y} (A_{3} B_{1} - A_{1} B_{3}) + \frac{d}{d z} (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1}) .$ $\frac{d}{d x}(A_2 B_3-A_3 B_2)+\frac{d}{d y}(A_3 B_1-A_1 B_3)+\frac{d}{d z}(A_1 B_2-A_2 B_1).$ Si no está familiarizado con los tensores, mi opinión personal es que este es el enfoque correcto pero no el mejor para usted en este momento.

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