¿Cómo es posible la curvatura del campo eléctrico?

Debe ser posible tomar el rotacional del campo eléctrico, porque la ley de Faraday lo implica:

∇ × mi = − ∂ B / ∂ t
Pero acabo de mirar en Wikipedia , donde dice

El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar dos veces diferenciable ϕ es siempre el vector cero:

∇ × ( ∇ ϕ ) = 0

Viendo como mi = − ∇ V , dónde V es el potencial eléctrico, esto sugeriría ∇ × mi = 0 .

¿Qué cosa presumiblemente monumentalmente obvia me estoy perdiendo?

Como la derivada del tiempo en la ley de Faraday indica que el campo no es estático, no tiene por qué ser conservativo, es decir, un gradiente de un campo escalar.
Esta es una pregunta frecuente. No todas las fórmulas electrostáticas son válidas para el electromagnetismo. Relacionado: physics.stackexchange.com/q/100028/2451
¡Te estás perdiendo el hecho de que el campo eléctrico no siempre se puede expresar como el gradiente de una función escalar!

Respuestas (3)

El hecho es que, en el caso general

mi → = − ∇ → V − ∂ A → ∂ t ;
(los signos dependen de las convenciones utilizadas) donde A → se llama potencial vectorial . Puedes consultar por ejemplo Wikipedia .

Consideremos ecuaciones de Maxwell homogéneas:

{ ∇ → ⋅ B → = 0 , ∇ → × mi → + ∂ B → ∂ t = 0 ;

Es bien sabido que cada archivo sin divergencia en R 3 puede escribirse como un rotacional de otro campo vectorial tal como sabemos que un campo sin rotacional puede escribirse como un gradiente de una función escalar en R 3 . Así, de la primera ecuación,

B → = ∇ → × A → ,

y sustituyendo esto en la segunda ecuación,

∇ → × ( mi → + ∂ A → ∂ t ) = 0 ,

ya que uno puede intercambiar el rotacional con el derivado wrt time, y así uno puede establecer:

mi → + ∂ A → ∂ t = − ∇ → V ,

a partir del cual

mi → = − ∇ → V − ∂ A → ∂ t .

Tenga en cuenta que si su campo magnético es independiente del tiempo, recupera la conocida fórmula

mi → = − ∇ → V .

"Es bien sabido que cada campo sin divergencia puede escribirse como un rizo de otro campo vectorial (en un dominio simplemente conectado)". En realidad, no : este es un error común. Libre de divergencia implica un potencial de vector en regiones con cohomología de segundo de Rham que se desvanece , NO en dominios simplemente conectados. Tomar R 3 menos el origen. Esa región es simplemente conexa y, sin embargo, existen campos sin divergencia en ella que, de hecho, no admiten un potencial vectorial. La conexión simple es relevante para que los campos libres de rotaciones sean gradientes, pero no para los campos libres de divergencia.

Cuando hay un campo magnético que varía con el tiempo, el campo eléctrico no es conservativo y, por lo tanto, no se puede escribir en la forma mi = − ∇ V .

Para campos eléctricos y magnéticos dinámicos, hay una parte del campo eléctrico que depende del vector potencial:

mi → = − ∇ → V − ∂ A → ∂ t , B → = ∇ → × A → .
Tomando el rotacional de la primera ecuación se obtiene la Ley de Faraday (con el V -término dependiente que abandona como usted nota); tomando la divergencia del segundo se obtiene la ley de "no monopolo" ∇ → ⋅ B → = 0 .

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