¿Era la corriente de desplazamiento de Maxwell la única forma de arreglar la Ley de Ampère?

Es bien sabido que Maxwell agregó el término corriente de desplazamiento a la Ley de Ampère para completar la electrodinámica. Como se enseña en el contexto moderno (actualmente estoy leyendo el texto de Griffiths, Introducción a la electrodinámica ), podemos motivar la adición del término de corriente de desplazamiento señalando que su adición a las ecuaciones de Maxwell significa que las ecuaciones de Maxwell implican la ecuación de continuidad. Sin embargo, como señala Griffiths, esta sutileza (el hecho de que la ecuación de continuidad se sale de las ecuaciones de Maxwell) no es una prueba irrefutable de que la suma de la forma específica del término de corriente de desplazamiento sea necesariamente correcta. De hecho, dice que "después de todo, podría haber otras formas de modificar la ley de Ampère". Mi pregunta es, por tanto, doble:

(1) ¿Es cierto, como dice Griffiths, que posiblemente haya otras formas de "arreglar" la Ley de Ampere? Es decir, ¿podemos dejar

∇ × B = m 0 j + v
para alguna función vectorial arbitraria v y aun así desarrollar una teoría consistente? No estoy seguro de cómo definir "una teoría consistente" aquí pero, quizás, podemos decir aproximadamente que una teoría consistente significaría que no hay contradicciones con las otras tres ecuaciones de Maxwell (matemáticamente hablando). Al menos para mí, sospecharía que la respuesta es "sí" ya que el problema (al menos como se entiende en el lenguaje más moderno del cálculo vectorial, en comparación con lo que estaba haciendo Maxwell) con la Ley de Ampere sin la corrección de Maxwell es que la divergencia del lado derecho no desaparece en general, como debe ser. Por lo tanto, estaríamos requiriendo que (usando continuidad y la Ley de Gauss)
∇ ⋅ v = − ∇ ⋅ ( m 0 j ) = m 0 ∂ ρ ∂ t = m 0 ∇ ⋅ ( ϵ 0 ∂ mi ∂ t )
pero, por supuesto, la divergencia de una función vectorial no especifica completamente esa función vectorial. Sin embargo, suponiendo que elijamos v para satisfacer lo anterior, y dejando de lado la verificación experimental por el momento, elegiría otra cosa para v romper la estructura de la teoría de Maxwell en algún otro lugar?

(2) Pasando ahora a considerar la verificación experimental, Griffiths dice que el descubrimiento de Hertz de las ondas EM confirmó la elección de Maxwell para el término de corriente de desplazamiento. Entiendo que las ecuaciones de Maxwell implican soluciones de onda que se observaron experimentalmente, pero tal vez alguien pueda (incluso a un alto nivel) explicar por qué cualquier otra elección del término de corriente de desplazamiento habría producido inconsistencias con el experimento (suponiendo que mi intento de responder ( 1) anterior era correcto, si hay inconsistencias matemáticas, entonces hemos terminado).

Ver esta pregunta . para un caso clásico de la corriente de desplazamiento para cargar un condensador.
Hola @wyphan, y gracias por la respuesta. De hecho, vi esa pregunta, pero llega a algo muy diferente de lo que estoy preguntando. No estoy preguntando por qué es necesario el término de corriente de desplazamiento, ni cómo se "manifiesta" físicamente en el caso especial de la carga de un capacitor. Esta pregunta es sobre si era posible o no, en teoría, haber remendado la Ley de Ampere con una función vectorial diferente. Son preguntas relacionadas, pero sin embargo muy diferentes.
¿Está haciendo una pregunta sobre la historia, por lo que las respuestas solo pueden usar datos experimentales que Maxwell conocía? ¿O está haciendo una pregunta pedagógica sobre qué restricciones podríamos deducir en v ¿hoy? ¿Y está haciendo una pregunta cuantitativa, como cuánto de una desviación del término de desplazamiento habitual excedería las incertidumbres experimentales? ¿O está haciendo una pregunta cualitativa, como en qué sentido el término de desplazamiento habitual es la opción más simple compatible con los experimentos?
@ChiralAnomaly Admitiré que supongo que estoy haciendo ambas preguntas. La parte (1) de mi pregunta anterior es matemática y pregunta sobre las restricciones matemáticas en v y, en la parte (2), estoy preguntando acerca de la confirmación experimental de la elección del término de desplazamiento.
Lo siento, mi comentario no fue claro. No estaba sugiriendo que debería elegir una u otra de las preguntas 1 y 2. Estaba pidiendo una aclaración sobre la pregunta 2, la parte experimental de la pregunta.
Espera, entonces tu pregunta básicamente pregunta si hay otros conjuntos de ecuaciones para mi → y B → que (i) cumplen la ecuación de continuidad ( ∇ ⋅ j → = − ∂ t ρ ) y (ii) dan como resultado ondas electromagnéticas (pero no son los ecualizadores de Maxwell)?
@najkim Supongo, si de hecho las ondas EM son la confirmación experimental a la que solo podría conducir la elección de Maxwell del término de desplazamiento en particular.
@ 1729_SR Hmmm, entonces, si está de acuerdo con asumir que deben existir soluciones de ecualización de onda para mi → y B → propagándose a velocidad 1 / m 0 ϵ 0 , entonces, siguiendo la sección 9.2.1 de Griffiths, ∇ 2 mi , B = m 0 ϵ 0 ∂ t 2 mi → , B → ; La ley de Ampere tendría que ser de la forma ∇ × B = m 0 j + m 0 ϵ 0 ∂ t mi + v → dónde v → es alguna función con rotacional cero y divergencia cero (ya que B tiene divergencia cero). Entonces, puede imponer condiciones de Helmholtz en v → (Apéndice B de Griffiths) para ver que v → debe igualar 0 → .

Respuestas (1)

La forma correcta, completa e incontrovertible de explicar el término es usando la relatividad especial. Tienes razón en que sin experimento y relatividad especial v puede ser cualquier cosa.

Una vez que consideras la relatividad especial, v debe ser ∂ mi / ∂ t y no hay otra teoría que lo explique completamente con consistencia matemática.

La relatividad especial juega un papel muy importante en la ecuación de Maxwell porque si tienes una carga en movimiento que crea un campo magnético, siempre puedes ir a un marco de referencia en el que B es cero.

De las leyes de conservación y relatividad especial tenemos:

∂ m F m v = m o j v

dónde F m v = ∂ m A v − ∂ v A m y A m es el vector potencial. El F m i term es la ecuación que buscas.

Muchas gracias por tu respuesta. Todavía no he estudiado relatividad especial, por lo que no tengo idea de si lo que has escrito constituye o no una respuesta (¡mi culpa, no la tuya!). ¿Hay alguna forma de responder sin invocar la relatividad especial? Si no, no te preocupes.
∂ m F m v es una especie de ley de conservación. Puede manejar las ecuaciones de Maxwell a partir de estas leyes de conservación. Tenga en cuenta que las leyes de conservación provienen de la simetría del Lagrangiano. En este caso es una simetría U(1). Aunque no usé la relatividad especial para responder a su pregunta, tuve que usar temas más avanzados. En pocas palabras, tiene que ver con las leyes de conservación relacionadas con las ecuaciones de Maxwell.
@KianMaleki ∂ m F m v no es una ley de conservación, es solo una expresión. La ecuación completa es ∂ m F m v = j v / ϵ 0 , que es la ecuación de movimiento del tensor de campo, que se convierte en la ecuación de onda de los cuatro potenciales en el calibre de Lorenz.
¿Era la corriente de desplazamiento de Maxwell la única forma de arreglar la Ley de Ampère?
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