Curvatura del campo eléctrico debido a la carga puntual en el origen y divergencia del campo magnético debido a la corriente infinita que transporta el cable en el origen

Question

Curvatura del campo eléctrico debido a la carga puntual en el origen y divergencia del campo magnético debido a la corriente infinita que transporta el cable en el origen

Física
campos vectoriales
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell

usuario285600

$\nabla\times E = 0/(r^2\sin\theta)$ dónde $\theta$ es el ángulo polar. Claramente $\nabla \times E = 0$ para todos $r$ excepto $r=0$ . Pero, ¿cómo concluimos que $\nabla\times E$ en $r=0$ ?

Seguramente se puede argumentar que el trabajo realizado por el campo electrostático alrededor de cualquier camino cerrado que encierra el origen es cero y, por lo tanto, como el rotacional es cero en todas partes excepto en el origen, y como la integral de superficie del rotacional es cero, entonces $\nabla\times E = 0$ en r=0 usando el teorema de Stokes.

Pero, ¿cómo podemos aplicar el teorema de Stokes en este caso si el campo vectorial no está definido en absoluto en el origen? Necesitamos un campo vectorial que sea diferenciable en todas partes de la superficie sobre la que calculamos la integral de superficie de rotacional en Stokes.

Similarmente $\nabla\cdot B$ en todas partes excepto $r=0$ .

r. esmeril

\nabla \times F

$\nabla \times F$ y

\nabla \cdot F

$\nabla \cdot F$

r. esmeril

\nabla \times F = (\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}) \hat{ı} + (\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}) \hat{ȷ} + (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) \hat{k} = [\begin{matrix} \frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} \end{matrix}]

$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{bmatrix}$

r. esmeril

div F = \nabla \cdot F = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (F_{x}, F_{y}, F_{z}) = \frac{\partial F_{x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z}

$\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

Respuestas (2)

Curvatura del campo eléctrico debido a la carga puntual en el origen y divergencia del campo magnético debido a la corriente infinita que transporta el cable en el origen

$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{bmatrix}$
$\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

Frobenius · Answer 1

Tenga en cuenta que para un campo vectorial, como el campo eléctrico $\mathbf{E}$ , una definición equivalente del rotacional ⁽¹⁾ en un punto $\mathrm P$ (basado en sus propiedades) es

\begin{matrix} (01) & {(\nabla \times mi)}_{PAG} \cdot norte \overset{definitivamente}{= =} \underset{A \to 0}{límite} \frac{1}{| A |} \oint_{C} mi \cdot d r \end{matrix}

$\begin{equation} \left(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right)_{\mathrm P}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}\stackrel{\texttt{def}}{\boldsymbol{=\!=}}\lim\limits_{A \boldsymbol{\rightarrow}0}\dfrac{1}{\boldsymbol{\vert}A\boldsymbol{\vert}}\oint_{C}\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot}\mathrm d\mathbf{r} \tag{01}\label{01} \end{equation}$ donde la integral de línea se calcula a lo largo del límite

C

$C$ del Area

A

$A$ en cuestión,

| A |

$\boldsymbol{\vert}A\boldsymbol{\vert}$ siendo la magnitud del área. Esta ecuación define la proyección del rotacional de

E

$\mathbf{E}$ sobre

n

$\mathbf{n}$ . Las superficies infinitesimales limitadas por

C

$C$ tener

n

$\mathbf{n}$ como su normalidad.

C

$C$ está orientado por la regla de la mano derecha. Si

C

$C$ es siempre un círculo con centro la carga puntual en la integral de línea de la rhs de la ecuación

(01)

$\eqref{01}$ , que es cero, el valor de

E_{q}

$\mathbf{E}_{\mathrm q}$ en el punto de carga en ninguna parte y nunca se utiliza.

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

Análogamente para un campo vectorial, como el campo magnético $\mathbf{B}$ , una definición equivalente de la divergencia ⁽²⁾ en un punto $\mathrm P$ (basado en sus propiedades) es

\begin{matrix} (02) & {(\nabla \cdot B)}_{PAG} \overset{definitivamente}{= =} \underset{V \to 0}{límite} \frac{1}{| V |} \iint_{S (V)} B \cdot norte d S \end{matrix}

$\begin{equation} \left(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{B} \right)_{\mathrm P} \stackrel{\texttt{def}}{\boldsymbol{=\!=}}\lim\limits_{V \boldsymbol{\rightarrow}0}\dfrac{1}{\boldsymbol{\vert}V\boldsymbol{\vert}}\iint_{S(V)}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\,\mathrm dS \tag{02}\label{02} \end{equation}$ dónde

| V |

$\boldsymbol{\vert}V\boldsymbol{\vert}$ es el volumen de

V

$V$ ,

S (V)

$S(V)$ es el límite de

V

$V$ , y

n

$\mathbf{n}$ es la unidad exterior normal a esa superficie. Se puede demostrar que el límite anterior siempre converge al mismo valor para cualquier secuencia de volúmenes que contengan

P

$\mathrm P$ y acercarse al volumen cero. El resultado,

\nabla \cdot B

$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}$ , es una función escalar de las coordenadas de

P

$\mathrm P$ . Si

V

$V$ es siempre un cilindro recto con eje alrededor del alambre en el punto

P

$\mathrm P$ entonces integral de superficie en el lado derecho de la ecuación

(02)

$\eqref{02}$ es cero

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

^{(1) Curl (matemáticas)}

^{(2) divergencia}

Sí, dado que en el límite en RHS, el numerador siempre es cero, entonces, Curl E = 0 en todas partes, incluido el origen. Bien ?

mis2cts · Answer 2

Curl E es cero para r finito. También una integral de contorno es cero para un contorno que evita el origen. Por tanto, la integral de superficie sobre cualquier superficie del rizo E es cero. Ahora considere una superficie a través del origen limitada por este contorno. Sabemos que todos los puntos excepto el origen aportan cero y el total es estrictamente cero. Entonces el origen también debe aportar cero.

Entonces, ¿estamos definiendo a la fuerza Curl E = 0 en el origen para que el teorema de Stokes sea aplicable?

Curvatura del campo eléctrico debido a la carga puntual en el origen y divergencia del campo magnético debido a la corriente infinita que transporta el cable en el origen

usuario285600

r. esmeril

r. esmeril

r. esmeril

Respuestas (2)

Frobenius

usuario285600

Frobenius

mis2cts

usuario285600

mis2cts

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