¿Cómo debe interpretarse la derivación de MTW de la fórmula de Maxwell-Faraday?

En la siguiente derivación, no estoy seguro de cómo se establecen exactamente los componentes de la ecuación vectorial final. Sospecho que esta es una situación análoga a la suma vectorial de rotaciones infinitesimales. La discusión se refiere a la sección 3.4 que comienza en la página 80 de Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler.

El tensor del campo electromagnético se determina escribiendo la ley de fuerza de Lorentz como una derivada de 3-momentum con respecto al tiempo propio, y escribiendo la derivada de energía con respecto al tiempo propio como el componente de tiempo del 4-vector de momento de la partícula. Es decir, el tensor de campo electromagnético se define sin recurrir a las ecuaciones de Maxwell.

El objetivo es derivar la fórmula de Maxwell-Farady, comenzando con la desaparición invariante de la divergencia del campo magnético y las leyes de transformación para los campos eléctrico y magnético. Consideramos un impulso de Lorentz infinitesimal$\vec{\beta}$en positivo$X$dirección. La siguiente forma de la parte magnética de la transformación del campo electromagnético se establece aplicando la transformación de Lorentz al tensor del campo electromagnético e igualando los términos

$$\begin{bmatrix}\overline{\mathfrak{B}}_{\parallel}\\ \overline{\mathfrak{B}}_{\perp} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathfrak{B}_{\parallel}\\ \gamma\left(\mathfrak{B}_{\bot}-\overset{\rightharpoonup}{\beta}\times\mathfrak{E}_{\bot}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_{x}\\ \gamma\left(B_{y}+\beta E_{z}\right)\\ \gamma\left(B_{z}-\beta E_{y}\right) \end{bmatrix}. \tag1$$

Como nuestro impulso es infinitesimal, podemos escribir$\gamma=1$. La transformación de las derivadas parciales con respecto a las coordenadas espaciales para un impulso infinitesimal en el$X$dirección son

$$\frac{\partial}{\partial\overline{x}}=\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial t};\frac{\partial}{\partial\overline{y}}=\frac{\partial}{\partial y};\frac{\partial}{\partial\overline{z}}=\frac{\partial}{\partial z}.$$

En términos del sistema de barras, la ley de divergencia del campo magnético toma la forma

$$\overline{\nabla}\cdot\overline{\mathfrak{B}}=0=\frac{\partial B_{\overline{x}}}{\partial\overline{x}}+\frac{\partial B_{\overline{y}}}{\partial\overline{y}}+\frac{\partial B_{\overline{z}}}{\partial\overline{z}}.$$

Reescribimos esto reemplazando los términos barrados con sus equivalentes abiertos:

$$0=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\beta\frac{\partial B_{x}}{\partial t}+\frac{\partial B_{y}+\beta E_{z}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}-\beta E_{y}}{\partial z}.$$

Agrupamos factores de$\beta$

$$0=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}+\beta\left(\frac{\partial B_{x}}{\partial t}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right),$$

luego aplique la ley de divergencia del campo magnético en su forma no barrada

$$\nabla\cdot\mathfrak{B}=0=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z},$$

para llegar a la condición

$$\frac{\partial B_{x}}{\partial t}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=0.$$

Si la velocidad de la transformación hubiera estado dirigida en el$y-$o$z-$direcciones, se habría obtenido una ecuación similar para$\partial B_{y}/\partial t$o$\partial B_{z}/\partial t$. En el lenguaje de los vectores tridimensionales, estas tres ecuaciones se reducen a una ecuación

$$\frac{\partial\mathfrak{B}}{\partial t}+\nabla\times\mathfrak{E}=\mathfrak{0}. \tag2$$

Si los impulsos bajo consideración fueran de magnitud relativista, no creo que pudiéramos considerar los resultados como componentes independientes del vector. Mi incertidumbre sobre cómo interpretar la declaración citada es que implica que estamos obteniendo nuestros resultados uno a la vez, pero combinándolos como si todos existieran simultáneamente. ¿Podría alguien por favor ayudarme a entender esto?