Como señaló Jobe, aquí hay un tratamiento completo de su pregunta . Deberías leerlo. Sin embargo, creo que puedo complementar con una discusión más cualitativa y un ejemplo. Enmienda : Esto podría usar algunas críticas de la comunidad, por lo que no lo tomaría como perfectamente presentado todavía.

Respuesta:

Permítanme dar mis respuestas primero, luego la explicación:

1. Puede aplicar la ley de Faraday en su forma diferencial a un punto fijo en el espacio incluso para límites dependientes del tiempo. Siempre es válido para un punto fijo en el espacio.
2. Si realmente desea aplicar la forma diferencial a un punto en movimiento , la forma más fácil es transformar los campos E y B en un marco en movimiento .

Explicación:

La pregunta era cómo tratar adecuadamente el caso general de la Ley de Faraday:

$$\begin{align} \oint_C\vec E \cdot d\vec l & = - {d \over d t} \iint_S \vec B \cdot d \vec A \\ \iint_S (\vec \nabla \times \vec E)\cdot d\vec A & = - {d \over d t} \iint_S \vec B \cdot d \vec A \\ \end{align}$$
Dónde $S$es una superficie lisa con una curva límite $C(t)$que puede tener una dependencia temporal explícita. Sólo cuando $C$no depende de $t$¿Puedes traer la derivada total dentro de la integral doble, degradarla a una derivada parcial y luego quitar la integral? $$\begin{align} \iint_S (\vec \nabla \times \vec E)\cdot d\vec A & = - \iint_S {\partial \vec B \over \partial t} \cdot d \vec A \\ \vec \nabla \times \vec E &= - {\partial \vec B \over \partial t } \\ \end{align}$$
¿Cómo sabemos que es seguro despegar la integral? Eso es equivalente a declarar $\vec \nabla \times \vec E$debe igualar $- {\partial \vec B \over \partial t}$en cada punto $P$en $S$. Para ver por qué esto debe ser cierto, imagine reducir la superficie $S$abajo alrededor del punto $P$. En algún momento la suavidad de $\vec E$y $\partial \vec B/\partial t$debe activarse y hacer que estos sean constantes sobre la integral, eliminando así su necesidad: Y esto me lleva al primer punto que me gustaría hacer:

$\oint_C\vec E \cdot d\vec l = - {\partial \over \partial t} \iint_S \vec B \cdot d \vec A$está sobre una superficie , mientras que$\vec \nabla \times \vec E = - {\partial \vec B \over \partial t }$está en un punto .

Permítanme ahora mostrar cómo se aplica la ley de Faraday en forma diferencial a bucles de área cambiante con el ejemplo clásico de barra deslizante: la respuesta es, por supuesto, que el voltaje
$\mathcal{E} = BLv$genera corriente en el sentido de las agujas del reloj alrededor del bucle, una respuesta fácilmente adquirida de la forma integral de la ley de Faraday. Pero, ¿qué nos dice la forma diferencial? Considere un punto fijo$P$en el espacio a punto de ser alcanzado por la barra deslizante: Dado que la barra es un (perfecto) conductor en movimiento , suprime (perfectamente) el campo magnético en su interior. Así es como
$P$presencia un campo magnético cambiante, incluso cuando$P$es estacionario Escribamos la forma diferencial con$\vec B = +B \hat z$:

$$\begin{align} (\vec \nabla \times \vec E)_z &= -{\partial B_z \over \partial t}\\ {dE_y \over dx} - {dE_x \over dy} &= -{\partial B \over \partial t} \\ {\Delta E_y \over \Delta x} &\approx -{ \Delta B \over \Delta t} \\ E_y &\approx {\Delta x \over \Delta t} B \\ E_y &\approx v B \\ \mathcal{E} &\approx v B L \\ \end{align}$$
Este es el mismo resultado que se encuentra con la ley de Faraday en forma integral. La aproximación se puede hacer exacta con un poco más de rigor, pero entiende cómo tener un punto estacionario $P$no es una limitación en principio.

¿Qué pasa si realmente quieres?$P$para mover:

Seguro,$P$puede moverse. Un método es aplicar la regla integral de Leibniz para dos dimensiones , que lo guía a través de la diferenciación de los límites integrales:

$${d \over dt} \iint_{S(t)} \vec F(\vec r, t) \cdot d\vec A = \iint_{S(t)} ({\partial \vec F(\vec r,t) \over \partial t} + [\vec \nabla \cdot \vec F(\vec r,t)\vec v ])\cdot d\vec A - \oint_{C(t)} [\vec v \times \vec F(\vec r,t)] \cdot d \vec l$$
Dónde $\vec v$es la velocidad en cada punto de $C(t)$y $\vec F$es su campo vectorial. Voy a citar el resultado de aplicar esto a la ley de Faraday, ya que eso se hizo de manera experta en la respuesta vinculada anteriormente: $$\vec \nabla \times (\vec E + \vec v \times \vec B) = -{\partial \vec B \over \partial t}$$
Esto es correcto, pero me parece engañoso. El segundo método que me gustaría mostrar es mucho más simple: convertir $\vec E$y $\vec B$al cuadro en movimiento: $$\begin{matrix} \text{E and B in a moving inertial frame} \\ \begin{align} \vec E' &= \vec E + \vec v \times \vec B \\ \vec B' &= \vec B - {1 \over c^2} \vec v \times \vec E \\ \end{align} \end{matrix}$$
Estas son las conversiones (no relativistas) de campos eléctricos y magnéticos a aquellos en un marco de inercia que se mueve a velocidad. $\vec v$. Hacen que muchos problemas cuasiestáticos sean triviales, y la ley de Faraday no es diferente. Aplicándolo al ejemplo de la barra deslizante de arriba: $$\begin{array}{c|c} \text{The rest frame} & \text{The moving frame}\\ \hline \vec E = 0 & \vec E' = \vec v \times \vec B \\ \vec B = +B\hat z & \vec B' = \vec B \\ \end{array}$$
$\vec E = 0$en el marco de descanso porque no hay densidad de carga $\rho$en este problema y requerimos $\vec E' = 0$cuando $\vec v = 0$. Por lo tanto, desde la perspectiva de la barra en movimiento, ve una constante $\vec B$campo y $\vec E$campo por todas partes; no se requiere la ley de Faraday. Desde $E'_y = vB$, podemos recuperar el voltaje $\mathcal{E} = vBL$como se encontró anteriormente. Tenga en cuenta de este cálculo que en realidad estamos midiendo $\vec E'$en el cuadro en movimiento . Por último, el resultado de aplicar la regla integral de Leibniz: $$\begin{align} \vec \nabla \times ( \vec E + \vec v \times \vec B) &= - {\partial \vec B \over \partial t} \\ \vec \nabla' \times ( \vec E' ) &= - {\partial \vec B' \over \partial t} \\ \end{align}$$

es lo mismo que aplicar las transformaciones de campo para E y B.