¿Por qué la derivada covariante no afecta el valor esperado de vacío del campo de Higgs?

Question

¿Por qué la derivada covariante no afecta el valor esperado de vacío del campo de Higgs?

higgs
vacío
Física
ruptura de simetría
teoría cuántica de campos

ser

Considere la siguiente densidad lagrangiana:

L_{1} = (\partial_{m} ϕ^{*}) (\partial^{m} ϕ) - {metro}^{2} ϕ^{*} ϕ - h (ϕ^{*} ϕ)^{2}

$\mathcal{L}_{1} = (\partial_{\mu}\phi^{*})(\partial^{\mu}\phi)-m^{2}\phi^{*}\phi-h(\phi^{*}\phi)^{2}$ para el campo escalar complejo

ϕ

$\phi$ con

h > 0

$h>0$ . Obtengo el valor esperado de vacío como el mínimo de la densidad hamiltoniana.

\begin{aligned} H_{1} & = π_{ϕ} \dot{ϕ} + π_{ϕ^{*}} \dot{ϕ^{*}} - L_{1} \\ = \frac{1}{C^{2}} | \dot{ϕ} |^{2} + | \nabla ϕ |^{2} + {metro}^{2} | ϕ |^{2} + h | ϕ |^{4} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{H}_{1} &= \pi_{\phi}\dot{\phi}+\pi_{\phi^{*}}\dot{\phi^{*}} - \mathcal{L}_{1} \\ &= \frac{1}{c^{2}}|\dot{\phi}|^{2}+|\nabla\phi|^{2}+m^{2}|\phi|^{2}+h|\phi|^{4} \end{align}$ con respecto a

| ϕ |

$|\phi|$ . Aquí, los momentos canónicos son

\begin{aligned} π_{ϕ} & = \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{ϕ}} = \frac{1}{C^{2}} \dot{ϕ^{*}}, \\ π_{ϕ^{*}} & = \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{ϕ^{*}}} = \frac{1}{C^{2}} \dot{ϕ} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi_{\phi} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{1}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi^{*}},\\ \pi_{\phi^{*}} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{1}}{\partial\dot{\phi^{*}}}=\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi}. \end{align}$ Para el caso de simetría rota

m^{2} < 0

$m^{2}<0$ , Encuentro

| ϕ_{0} | = \sqrt{\frac{- {metro}^{2}}{2 h}} .

$|\phi_{0}| = \sqrt{\frac{-m^{2}}{2h}}.$ Reemplazando la derivada parcial por la derivada covariante

\partial_{m} ϕ \mapsto D_{m} ϕ = (\partial_{m} - i gramo A_{m}) ϕ .

$\partial_{\mu}\phi\mapsto D_{\mu}\phi = (\partial_{\mu}-igA_{\mu})\phi.$ y agregando la parte libre del campo vectorial

A_{μ}

$A_{\mu}$ ,

- \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v},

$-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},$ la densidad lagrangiana es

L_{2} = [(\partial_{m} + i gramo A_{m}) ϕ^{*}] [(\partial^{m} - i gramo A^{m}) ϕ] - {metro}^{2} ϕ^{*} ϕ - h (ϕ^{*} ϕ)^{2} - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v}

$\mathcal{L}_{2} = [(\partial_{\mu}+igA_{\mu})\phi^{*}][(\partial^{\mu}-igA^{\mu})\phi]-m^{2}\phi^{*}\phi-h(\phi^{*}\phi)^{2}-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ y obtengo una densidad hamiltoniana similar

\begin{aligned} H_{2} = & π_{ϕ} \dot{ϕ} + π_{ϕ^{*}} \dot{ϕ^{*}} + (π_{A})_{γ} \dot{A^{γ}} - L_{2} \\ = & \frac{1}{C^{2}} | \dot{ϕ} |^{2} + | \nabla ϕ |^{2} + {metro}^{2} | ϕ |^{2} + h | ϕ |^{4} \\ + 2 gramo A^{norte} Soy [ϕ^{*} (\partial_{norte} ϕ)] - {gramo}^{2} A_{m} A^{m} | ϕ |^{2} - (\partial_{norte} A_{m}) F^{norte m}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{H}_{2} = &\pi_{\phi}\dot{\phi}+\pi_{\phi^{*}}\dot{\phi^{*}}+(\pi_{A})_{\gamma}\dot{A^{\gamma}} - \mathcal{L}_{2} \\ = &\frac{1}{c^{2}}|\dot{\phi}|^{2}+|\nabla\phi|^{2}+m^{2}|\phi|^{2}+h|\phi|^{4}\\ &+ 2gA^{n}\text{Im}[\phi^{*}(\partial_{n}\phi)]-g^{2}A_{\mu}A^{\mu}|\phi|^{2}-(\partial_{n}A_{\mu})F^{n\mu}, \end{align}$ dónde

μ \in {0, 1, 2, 3}

$\mu\in\{0,1,2,3\}$ y

n \in {1, 2, 3}

$n\in\{1,2,3\}$ . Aquí, los momentos canónicos son

\begin{aligned} π_{ϕ} & = \frac{\partial L_{2}}{\partial \dot{ϕ}} = \frac{1}{C} [\frac{1}{C} \dot{ϕ^{*}} + i gramo ϕ^{*} A^{0}], \\ π_{ϕ^{*}} & = \frac{\partial L_{2}}{\partial \dot{ϕ^{*}}} = \frac{1}{C} [\frac{1}{C} \dot{ϕ} - i gramo ϕ A^{0}], \\ (π_{A})_{γ} & = \frac{\partial L_{2}}{\partial (\dot{A^{γ}})} = - \frac{1}{C} {gramo}_{m γ} F^{0 m} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi_{\phi} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{2}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{1}{c}\left[\frac{1}{c}\dot{\phi^{*}}+ig\phi^{*}A^{0}\right],\\ \pi_{\phi^{*}} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{2}}{\partial\dot{\phi^{*}}}=\frac{1}{c}\left[\frac{1}{c}\dot{\phi}-ig\phi A^{0}\right],\\ (\pi_{A})_{\gamma} &=\frac{\partial \mathcal{L}_{2}}{\partial (\dot{A^{\gamma}})} =-\frac{1}{c}g_{\mu\gamma}F^{0\mu}. \end{align}$

Si requiero que el valor esperado de vacío sea real (similar al indicador unitario) y descuido $(\partial_{n}A_{\mu})F^{n\mu}$ como compensación, todavía queda la contribución $g^{2}A_{\mu}A^{\mu}|\phi|^{2}$ modificando $m^{2}$ . Esto cambia el valor esperado de vacío en el caso de simetría rota $m^{2}<0$ y lo hace dependiente del campo de calibre. Varios libros ("Campos, simetrías y quarks" de Mosel, cap. 9.1; "Simetrías en física" de Ludwig, Falter, cap. 14.4.3; "Teoría de grupos en física, Vol. II" de Cornwell, cap. 19.4) afirman que el valor esperado de vacío no cambia en comparación con la densidad de Lagrange sin modificar. Tampoco debe depender $A_{\mu}$ , ya que, de lo contrario, la transformación de calibre para eliminar el bosón de Goldstone sin masa afectaría el valor esperado de vacío.

Pregunta: ¿ Cuál es el argumento para que el valor esperado de vacío no dependa del campo de medición? $A_{\mu}$ , a partir de la densidad hamiltoniana $\mathcal{H}_{2}$ ? Estoy interesado en una solución más técnica.

Descargo de responsabilidad: ya encontré:

pero ambas direcciones $\mathcal{L}_{1}$ .

apt45

¿Puede explicarnos por qué las otras respuestas no son satisfactorias? De esta manera, podemos tratar de mejorarlos.

ohneVal

Otro documento interesante que encontré es iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/19/11/017 , confirma su cálculo de alguna manera. Sin embargo, todavía no entiendo cómo entender la estabilidad causada por el

A A ϕ ϕ

$AA\phi\phi$ término...

prahar

Tienes que resolver ecuaciones de movimiento para todos los campos, no solo para el escalar. El de A lo establece en cero en el vacío (también lo dicta la invariancia de Lorentz a menos que desee que esa simetría también se rompa espontáneamente)

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¿Por qué la derivada covariante no afecta el valor esperado de vacío del campo de Higgs?

¿Puede explicarnos por qué las otras respuestas no son satisfactorias? De esta manera, podemos tratar de mejorarlos.
Otro documento interesante que encontré es iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/19/11/017 , confirma su cálculo de alguna manera. Sin embargo, todavía no entiendo cómo entender la estabilidad causada por el $AA\phi\phi$ término...
Tienes que resolver ecuaciones de movimiento para todos los campos, no solo para el escalar. El de A lo establece en cero en el vacío (también lo dicta la invariancia de Lorentz a menos que desee que esa simetría también se rompa espontáneamente)

knzhou · Answer 1

Buena pregunta; primero recapitulemos la configuración. Encontrar las vev de los campos en el estado fundamental es realmente una cuestión de teoría cuántica de campos. Sin embargo, en los libros de texto introductorios ignoramos los efectos cuánticos, con la esperanza de que sean pequeños y tratamos todos los campos como clásicos. Esto es razonable porque si tiene un vev clásico distinto de cero, los efectos cuánticos deberían venir en una serie de potencias en $\hbar$ y por lo tanto ser "pequeño". La serie de poder está realmente en $\hbar g^2$ , por lo que en realidad se trata de una aproximación de acoplamiento débil.

En cualquier caso, esto significa que en una teoría con $n$ campos, podemos pensar en cada campo como una función ordinaria en el espacio. Luego, los términos de gradiente en el hamiltoniano significan que para minimizar la energía, los campos deben ser constantes. Así que el problema se reduce a minimizar una función simple de $n$ variables

Sin embargo, el caso de las teorías de calibre es más sutil. Primero, hay diferentes configuraciones clásicas de los campos que corresponden exactamente al mismo estado físico. Por ejemplo, una configuración donde $A_\mu = 0$ es calibre equivalente a una configuración $A_\mu = \partial_\mu \Lambda$ para cualquier función $\Lambda$ , por lo que deben tener la misma energía, aunque esta última puede tener una rápida variación espacial. En segundo lugar, vemos que hay términos en $\mathcal{H}$ que son lineales en $\partial_\mu \phi$ , por lo que la configuración de energía mínima no necesita tener constante $\phi$ cualquiera.

Estos problemas están relacionados y hacen que sea muy difícil encontrar el mínimo clásico del potencial sin fijar el calibre. Hay un mínimo clásico donde $\phi$ es simplemente constante e igual a lo que sería sin el campo de calibre, pero es un calibre equivalente a todo tipo de configuraciones complicadas donde ambos $\phi$ y $A_\mu$ variar.

Para salir de este lío, necesitamos arreglar el calibre. Tenemos las transformaciones de calibre

A_{m} \to A_{m} + \partial_{m} Λ, ϕ \to {mi}^{i gramo Λ} ϕ .

$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \Lambda, \quad \phi \to e^{i g \Lambda} \phi.$ Por lo tanto, podemos elegir

Λ

$\Lambda$ de modo que

ϕ

$\phi$ es real en el tiempo

t = 0

$t = 0$ . Esto hace que la problemática

A^{i} Im (ϕ^{*} \partial_{i} ϕ)

$A^i \text{Im}(\phi^* \partial_i \phi)$ desaparecer el término. Dado que todos los términos de gradiente ahora son cuadráticos, las vev deben ser constantes, por lo que tenemos

H = {metro}^{2} | ϕ |^{2} + h | ϕ |^{4} - {gramo}^{2} A_{m} A^{m} | ϕ |^{2} .

$\mathcal{H} = m^2 |\phi|^2 + h |\phi|^4 - g^2 A_\mu A^\mu |\phi|^2.$ Ahora todavía tenemos un problema porque

A_{μ} A^{μ}

$A_\mu A^\mu$ tiene signo indefinido, por lo que este potencial no parece acotado a continuación. Pero todavía no hemos usado toda la libertad de calibre, ya que no hemos especificado la dependencia temporal de

Λ

$\Lambda$ . Así que todavía tenemos la libertad de transformar

A_{0} \to A_{0} + \partial_{0} Λ

$A_0 \to A_0 + \partial_0 \Lambda$ que podemos usar para establecer

A_{0} = 0

$A_0 = 0$ en el momento

t = 0

$t = 0$ . Entonces nosotros tenemos

H = {metro}^{2} | ϕ |^{2} + h | ϕ |^{4} - {gramo}^{2} A_{i} A^{i} | ϕ |^{2}

$\mathcal{H} = m^2 |\phi|^2 + h |\phi|^4 - g^2 A_i A^i |\phi|^2$ lo cual es ciertamente positivo gracias a la

(+ - - -)

$(+---)$ firma. Minimizar esta función ahora es sencillo; Debemos tener

A_{i} = 0

$A_i = 0$ , y encontrar el valor de

| ϕ |

$|\phi|$ procede como en el caso no imputado. Por supuesto, los valores de las vev dependerán del calibre, pero todos los valores de los observables invariantes del calibre que obtengamos no lo serán.

+1: esta es la respuesta más completa y menos ondulada a mano.
Buena explicación. Si voy ahora un paso más allá al mecanismo de Higgs, expreso el campo escalar como $\phi=\phi_{0}+(\varphi_{1}+i\varphi_{3})/\sqrt{2}$ , omita órdenes superiores en los campos y obtenga un campo masivo $\varphi_{1}$ y un campo sin masa $\varphi_{2}$ . Pensé, que para quitar $\varphi_{2}$ , necesito usar la libertad de calibre en $A_{\mu}$ : $A_{\mu}\mapsto A_{\mu}-(\partial_{\mu} \varphi_{2})/(-2g|\phi_{0}|)$ . Pero a partir de su explicación, parece que esta libertad ya se gastó por el bien de $\phi_{0}$ .
@ser Al establecer la fase de $\phi$ constante, $\varphi_2$ ya ha sido eliminado!
Tienes razón. Aparte de los órdenes superiores en los campos, solo hay derivados de $\varphi_{2}$ , que desaparecen por constante $\varphi_{2}$ . Gracias por la aclaración.
Solo para obtener la motivación de la primera parte: arreglamos la dependencia espacial de $\Lambda$ en $t=0$ para asegurarse de que los vevs son reales?
@ser Ah, cierto. Escribí "para arreglar la fase", pero diciendo "para configurar $\phi$ real" es más intuitivo y básicamente equivalente.

marqués de drake · Answer 2

VEV en realidad representa una solución a las ecuaciones de movimiento. Simplemente encuentre las ecuaciones de movimiento y establezca todas las derivadas parciales en cero, porque queremos estudiar los comportamientos del vacío.

Para el potencial 4, su ecuación de movimiento es $\propto A^\mu|\phi|^2=0$ , por lo que su VEV es cero. Es por eso que el VEV de Higgs no cambia.

El enfoque de la ecuación de movimiento suena razonable. Por curiosidad: ¿Es suficiente el requisito de estacionariedad (independencia del tiempo) y homogeneidad (independencia espacial) para que la ecuación de movimiento proporcione el valor esperado del vacío?
Sí. Simplemente exiges la estacionariedad y la homogeneidad para obtener el VEV. Después de todo, queremos el estado de energía más pequeño.

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