Determinación del estado fundamental de una teoría de campos

Con un Lagrangiano como:$\mathcal{L} = \partial_\mu \phi^\dagger \, \partial^\mu \phi - V(\phi) = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi - V(\phi)$, el hamiltoniano es:

$$\begin{equation*} \mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathring{\phi}} \mathring{\phi} + \mathring{\phi^\dagger} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathring{\phi^\dagger}} - \mathcal{L} \end{equation*}$$ lo que da: $$\begin{equation*} \begin{array}{ll} \mathcal{H} & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} - ( \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi - V(\phi) ) \\ & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} - \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi + V(\phi)\\ & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \vec{\nabla} \phi^\dagger . \vec{\nabla} \phi + V(\phi) \\ & = |\mathring{\phi}|^2 + |\vec{\nabla} \phi|^2 + V(\phi) \end{array} \end{equation*}$$ Notamos que los primeros 2 términos del hamiltoniano están definidos positivamente y desaparecen cuando $\phi$es un campo constante (no dependiente del espacio-tiempo). Por lo tanto, el mínimo de $\mathcal{H}$se alcanza para un campo constante $\phi_0$que minimiza los últimos 2 términos, es decir, el potencial $V(\phi_0)$.

Sugerencias:

1. Entonces término potencial$\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2$es definida semipositiva y es solo cero para un$x$-configuración independiente$\phi$.

2. Si se completa el cuadrado del potencial

   $$V(\phi)~=~\frac{\lambda}{4}\phi^4-\frac{\mu^2}{2}\phi^2~=~ \frac{\lambda}{4} \left(\phi^2-\frac{\mu^2}{\lambda}\right)^2-\frac{\mu^4}{4\lambda},$$ entonces queda claro que el$\phi$-configuraciones mínimas para los dos potenciales$V(\phi)$y $$U(\phi)~=~\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+V(\phi)$$ son lo mismo.