¿Cuál es el papel del valor esperado del vacío en la ruptura de simetría y la generación de masa?

Considere una teoría de un campo escalar complejo con el siguiente Lagrangiano.

L = ∂ m ϕ ∗ ∂ m ϕ + m 2 ϕ ∗ ϕ − λ 2 ( ϕ ∗ ϕ ) 2 .
el potencial es
V ( ϕ ) = − m 2 | ϕ | 2 + λ 2 | ϕ | 4 .
El mínimo estable clásico de este potencial viene dado por ϕ = m λ mi i θ =: v para cualquier θ ∈ R .

Luego definimos un nuevo campo. ψ := ϕ − | v | , reescriba el Lagrangiano en términos del nuevo campo ψ , et voilà: sale el término de masa

2 | v | 2 λ ψ ∗ ψ .
La gente suele explicar que esto muestra la existencia de un campo cuyos cuantos son partículas de masa | v | 2 λ . En este sentido, el campo original ϕ ha adquirido una masa.

no lo compro No veo dónde este argumento realmente ha utilizado el hecho de que v es el valor esperado de vacío del campo. Sí, es natural expandirse sobre los mínimos clásicos, pero ¿por qué no hacer algo estúpido y definir un nuevo campo? ψ := ϕ − 7 . Una vez más, después de reescribir el Lagrangiano en términos del nuevo campo, debería encontrar que efectivamente ha adquirido un término de masa. Jugando este truco una y otra vez, eligiendo un número diferente a 7 , debería poder encontrar un término de masa con cualquier masa que desee. Obviamente, esto no tiene ningún sentido físico.

Hay algo especial en la sustitución. ψ := ϕ − | v | . Debe haber algo más que una tediosa manipulación algebraica, pero ¿qué es? ¿Por qué la naturaleza posee partículas de la masa que da esta sustitución, a diferencia de cualquier otra sustitución?

En otra nota, ¿qué tiene esto que ver exactamente con el mundo tu ( 1 ) simetría presente? Parece que lo único que ha influido hasta ahora es que el valor esperado de vacío del campo no es cero, pero siempre he visto esta generación masiva presentada junto con la ruptura de la simetría. ¿Cuál es exactamente la relación entre los dos?

Respuestas (3)

Como se comprueba fácilmente, los campos lineales en los operadores de creación y aniquilación (y, por lo tanto, susceptibles de una interpretación de partículas) tienen un valor esperado de vacío cero. Por lo tanto, la ϕ campo con su valor esperado de vacío que no se desvanece no se le puede dar una interpretación de partícula. pero el campo ψ = ϕ − v tiene una interpretación tal como que su valor esperado de vacío es cero. Esto funciona solo si v es la expectativa de vacío de ϕ .

Tenga en cuenta que el campo ϕ es y permanece sin masa; es el campo ψ que había adquirido un término masivo.

La aproximación de 1 bucle a una teoría cuántica de campos viene dada por la aproximación del punto de silla de la integral funcional. Para eso, debe expandirse alrededor de un punto estacionario y, por razones de estabilidad, este punto estacionario debe ser un minimizador local. Si el mínimo local no es global, el estado de vacío es solo metaestable; por lo que generalmente se expande alrededor del minimizador global.

Un término de masa rompe la simetría de escala de una teoría invariante de escala anterior. Puede o no romper otras simetrías. En el caso anterior, la simetría ϕ → − ϕ       de la acción se rompe en el vacío estable.

Pequeña terminación. La afirmación sobre la ruptura de la simetría de reflexión discreta es intachable, pero sólo es útil para un φ estrictamente Real. Normalmente, este desplazamiento es para un φ complejo, donde la simetría U(1) del lagrangiano mezcla las partes real e imaginaria de φ ↦ exp(iε)φ. Así, ψ=(Reφ-|ν|)+Imφ, de modo que Reψ gira a Im ψ, y es masivo; mientras que, por el contrario, Imψ se desplaza por ε|ν| también, más allá de la rotación a Reψ, y por lo tanto es la partícula de Goldstone sin masa, como debe estar diciéndole el texto QFT del OP al discutir este potencial de Goldstone: ¡U (1) ahora se realiza de forma no lineal = espont.roto!
ψ=(Reφ-|ν|) + i Imφ se entiende arriba.

En primer lugar, tenga en cuenta que las 'partículas' son pequeñas oscilaciones cuantificadas de un campo.

Ahora, al potencial. Encontraría un término de 'masa' que se expande alrededor de cualquier punto, pero también encontrará genéricamente un término lineal. Si intentara cuantificar perturbativamente las 'pequeñas oscilaciones' alrededor de dicho punto, encontraría diagramas de Feynman distintos de cero donde las partículas se crean a partir de la nada. Esto representa una inestabilidad: la teoría te está diciendo que estás haciendo lo incorrecto.

Editar: olvidé abordar el aspecto de ruptura de simetría. Si considera solo el modelo de campo escalar, entonces la simetría global rota significa que tendrá una partícula exactamente sin masa: el bosón de Goldstone. Esto corresponde a las oscilaciones angulares (solo discutiste el modo radial). En una teoría de calibre, un bosón de calibre no tiene masa si y solo si el vacío conserva la simetría correspondiente.

No veo muy bien cómo el requisito de que no tiene un término lineal requiere que hagamos la sustitución ψ := ϕ − | v | . Por ejemplo, la sustitución trivial ψ := ϕ no tiene un término lineal, pero esto no puede ser correcto, porque no vemos un par de partículas y antipartículas sin masa, vemos un bosón de Goldstone y una partícula escalar real masiva.
Si se expande alrededor del origen, ϕ = 0 , encuentra un término de masa cuadrada negativa. Esto también indica una inestabilidad: las soluciones clásicas en un número de onda pequeño ahora están decayendo o creciendo exponencialmente.

Olvídate de la mecánica cuántica e imagina una partícula clásica de masa metro moviéndose en un potencial de sombrero mexicano ( ϕ 2 − v 2 ) 2 , con algo de fricción para que no vuelva a subir la colina después de rodar hacia abajo.

Si lo empiezas en ϕ = 0 luego rodará cuesta abajo (hacia la derecha, digamos) y oscilará alrededor ϕ = v con una frecuencia de ω = 8 v 2 / metro en el límite de baja energía.

si lo sustituyes ψ = ϕ − v entonces oscilará alrededor ψ = 0 con una frecuencia de ω . si lo sustituyes ψ ′ = ϕ − 7 entonces oscilará alrededor ψ ′ = v − 7 con una frecuencia de ω .

No importa cuál sea el coeficiente del término cuadrático en el polinomio. Lo que importa es que haya un mínimo local del potencial alrededor del cual el sistema tenderá a oscilar a una frecuencia característica. La única consecuencia de elegir una variable que no sea ψ es que este comportamiento se vuelve más difícil de modelar.

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