Valor de expectativa de vacío y mínimos del potencial

Tenemos el funcional de la fuente externa.$J$, que nos da vevs de operadores de campo, por diferenciación funcional:

$$e^{-iE[J]} = \int {\cal{D}}\phi\, e^{iS[\phi]+iJ\phi}$$ $$\phi_{cl}=\langle\phi\rangle_J = -\frac{\delta E}{\delta J}$$ Dónde $\langle\phi\rangle_J$es el vev de $\phi$en presencia de una fuente externa $J$. Eso podría considerarse como una "respuesta" visible del sistema en la fuente y generalmente se denota como una nueva variable, denominada "campo clásico". Nos gustaría encontrarlo cuando no hay fuentes externas: $J=0$.
Para eso, se hace el truco de la transformación de Legendre , llegando a la acción efectiva : $$\Gamma[\phi_{cl}] = - E - J\phi_{cl}\quad\quad\frac{\delta\,\Gamma}{\delta \phi_{cl}} = - J$$ Recordando nuestro objetivo de encontrar $\phi_{cl}$a $J=0$, llegamos a la ecuación. $$\frac{\delta\,\Gamma}{\delta \phi_{cl}} = 0$$ Agregando una suposición adicional de que $\phi_{cl}$es independiente del espacio y del tiempo: $\phi_{cl}(x) = v$, la acción efectiva funcional $\Gamma[\phi_{cl}]$luego se reduce a potencial efectivo $V_{eff}(v)$y la ecuación se convierte en. $$\frac{dV_{eff}}{dv} = 0$$ Ahora, como señaló correctamente David Vercauteren, $V_{eff}(v)$no es la misma función que $V(\phi)$. Pero normalmente es una buena primera aproximación, porque solemos considerar sistemas donde el campo cuántico "real" fluctúa débilmente alrededor de su vacío: $\phi(x)=v+\eta(x)$con $\eta$siendo pequeño