¿Un operador de simetría UUU y su generador QQQ que actúan sobre un vacío |0⟩|0⟩|0\rangle representan ambos un nuevo vacío degenerado?

Tener la energía más baja posible (que podemos tomar como cero) es solo una condición necesaria, no una condición suficiente, para que un estado califique como un estado de vacío. para un estado$|0\rangle$para calificar como un estado de vacío, también debe tener la propiedad de clúster . La propiedad del clúster es

La sección 19.1 en Weinberg, The Quantum Theory of Fields , volumen 2, explica que entre todos los estados de energía cero, podemos elegir una base$|k\rangle$en el cual$\langle j|A|k\rangle=0$para$j\neq k$para todos los operadores locales$A$. (Estoy considerando el caso de una simetría discreta rota espontáneamente para evitar complicaciones técnicas, pero la misma idea se aplica en el caso de una simetría continua). Weinberg explica que cada uno de estos estados básicos tiene la propiedad de descomposición de grupos, pero otras superposiciones de estos estados básicos no lo hacen. Sólo los estados de base$|k\rangle$calificar como estados de vacío, aunque las superposiciones arbitrarias de ellos también tienen energía cero.

Si$|0\rangle$es uno de los estados de vacío calificados y$\hat Q$es el generador de la simetría SSB continua, entonces$|\theta\rangle \equiv\exp(i\hat Q\theta)|0\rangle$es otro estado de vacío calificado. En el caso de simetría continua, ni siquiera podemos considerar los estados$|\theta\rangle$con diferente$\theta$como pertenecientes al mismo espacio de Hilbert separable, porque un espacio de Hilbert separable no puede tener un continuo de estados mutuamente ortonormales. Esta es la "complicación técnica" a la que aludí anteriormente. Una complicación relacionada impide$\hat Q|0\rangle$de ser un vector de estado bien definido, porque$\hat Q$se supone que es algo así como la derivada con respecto a$\theta$, pero estados con diferentes valores de$\theta$ni siquiera pertenecen al mismo espacio de Hilbert (separable).

Quizás estas complicaciones técnicas se puedan evitar trabajando en un volumen espacial finito; No estoy seguro. La SSB estricta no ocurre en un volumen espacial finito, pero podemos estudiar cómo surge la SSB en el límite de volumen infinito.

Aunque este criterio de selección de vacío (el principio de grupo) a menudo se presenta como un principio separado, como lo describí aquí, en realidad es solo un caso especial ideal del principio que podríamos usar para diagnosticar cuándo se ha medido un observable, en un modelo que incluye el equipo de medida, etc, como parte del sistema cuántico. En el caso de SSB, el observable que ha sido "medido" es un observable cuyos estados propios son los estados base$|k\rangle$que no pueden ser conectados entre sí por operadores locales, por lo que estos son los estados de vacío que realmente experimentamos a raíz de esta "medición", incluso si comenzamos con una superposición de ellos. Desde esta perspectiva, SSB puede ocurrir para todos los propósitos prácticos incluso en un espacio de volumen finito, por la misma razón ("decoherencia") por la que prácticamente no podemos observar una superposición de resultados de medición después de una medición. En la práctica, un ferroimán no tiene que ser infinitamente grande para magnetizarse espontáneamente.

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Apéndice: otra referencia

En el contexto de los sistemas de espín (como el modelo de Ising), la sección 23.3 ("Parámetros de orden y propiedades del grupo") en la Teoría del campo cuántico y los fenómenos críticos de Zinn-Justin muestra que exigir que los estados de vacío satisfagan la propiedad del grupo selecciona de forma única la base SSB convencional afirma y elimina todas las demás superposiciones de ellos, aunque todos tengan la misma energía.