¿Por qué la aceleración debe ser constante si se integra?

La aceleración no necesita ser constante. Por definición,$a=dv/dt$. Todavía puedes resolver para$v(t)$integrando$\int a(t) dt$.

Si la aceleración es constante, llegará a la situación común de$v(t)=v_0 +at$. Si la aceleración no es constante, tendrá algún otro resultado (más interesante) para$v(t)$ya que ahora está integrando sobre una función que incluye$t$.

Por ejemplo, si$a(t)=\frac{a_0}{t^2}$, entonces$v(t)=-\frac{a_0}{t}+v_0$.

¿Por qué la aceleración debe ser constante?

Las ecuaciones que das no requieren una aceleración constante, son verdaderas independientemente:

$$\begin{align} v(t) &= \int^t_0 a(t')dt' + v_0 \\ &= \int^t_0 \frac{dv(t')}{dt'}dt' + v_0 \\ &= \int^t_0 dv(t') + v_0 \\ &= v(t) - v(0) + v_0 \\ &= v(t) \end{align}$$

donde usé la definición de aceleración,$a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$, en la línea 2. Y de manera similar para la posición

$$x(t) = \int^t_0 v(t')dt' + x_0 = \int^t_0 \frac{dx(t')}{dt'}dt' + x_0 = \int^t_0 dx(t') + x_0 = x(t) - x(0) + x_0 = x(t)$$

usando la definición de velocidad,$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$, en el$2^{nd}$paso. Crucialmente, no se asumió una aceleración constante:$a(t)$podría ser cualquier cosa diferencial capaz.

No puedo ver por qué la integración necesitaría una aceleración constante como tal.

En general, no es así, pero si lo asume, las ecuaciones se simplifican enormemente :)

Si la aceleración es constante, entonces$a(t) \rightarrow a$ya que no depende del tiempo. Esto te permite sacarlo de la integral, lo que hace que la integral se pueda resolver. Partiendo de la definición de aceleración en forma integral

$$\begin{align} v(t) &= \int a(t)dt \\ &\rightarrow a\int dt \quad\text{ (!!)} \\ &= at+c \end{align}$$

dónde$c$es una constante y$(!!)$significa que usé el hecho de que la aceleración es constante. si consideras$t=0$:$v(t=0) = c$entonces se hace evidente que$c$es la velocidad inicial,$v(t=0)$, mientras que cambiaré el nombre como$v_0$.

$$\begin{equation} v(t) = at+v_0 \tag{1} \end{equation}$$

A continuación, puede repetir este proceso con la posición,$x$, dada la definición de velocidad

$$\begin{align} x(t) &= \int v(t)dt \\ &= \int (at+v_0)dt \quad\text{ (!!)} \\\\ &= \int at dt + \int v_0 dt \\ &\rightarrow a\int t dt + v_0\int dt \quad\text{ (!!)} \\\\ &= \frac{1}{2}at^2 + v_0t + c \end{align}$$

Considerando$t=0$de nuevo:$x(t=0) = c$, entonces tenemos

$$\begin{equation} x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0 \tag{2} \end{equation}$$

Las ecuaciones 1 y 2 se usan mucho en la física clásica, porque a menudo consideramos casos simples con fuerzas constantes (p. ej., gravedad y electrostática), que producen aceleraciones constantes. También hay algunas ecuaciones más para la aceleración constante, más sobre ellas aquí .

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Si la aceleración no es constante, entonces tienes alguna función de$t$. Por ejemplo,

$$\begin{align} a(t) &= xt^2 + yt + z \\ v(t) &= \int a(t) dt \\ &= \int (xt^2 + yt + z) dt \\ &= \int xt^2 dt + \int yt dt + \int z dt \\ &= x\int t^2 dt + y\int t dt + z\int dt \\ &= \frac{1}{3}xt^3 + \frac{1}{2}yt^2 + zt + c \end{align}$$