¿Por qué equiparamos una integral indefinida a un valor específico?

Supongamos que queremos obtener un vector de desplazamiento definido como$\mathbf s(t) = x(t)\mathbf i + y(t)\mathbf j + z(t)\mathbf k$de las componentes de un vector de velocidad$\mathbf v(t) = \dot x(t)\mathbf i + \dot y(t)\mathbf j + \dot z(t)\mathbf k=\mathbf 0$. Según mis notas, esto se puede hacer igualando cada componente escalar del vector desplazamiento a la integral indefinida de los escalares correspondientes del vector velocidad, es decir

$$\mathbf s(t)=\begin{pmatrix} x(t)=\int \dot x\ dt \\ y(t)=\int \dot y\ dt \\ z(t)=\int \dot z\ dt \end{pmatrix}$$ Pero como $\int f(x)\ dx=\{F(x): \frac {dF}{dx}=f(x)\}$, esto debería ser sintácticamente incorrecto, porque estamos dando a entender que un número es igual a un conjunto infinito de números, ¿o me estoy perdiendo algo?

Además, esto también conduce a una extraña ecuación al resolver la integral; por ejemplo, teniendo en cuenta la$x$-componente de$\mathbf s$, tendríamos eso

$$x(t)=\int \dot x\ dt=c_1$$

Lo cual es correcto, pero también significaría que el$x$-componente de la velocidad podría ser igual a cualquier valor perteneciente a$\mathbb R$. Por eso, sustituimos$c_1$con la condición inicial y la igualamos a cero, dándole un valor específico:$c_1=0$. Pero, para mí, esto suena como una ruptura de la definición de integrales indefinidas, como$\int \dot x\ dt=c_1=0$básicamente significaría que una integral indefinida es una función específica.

Sé que esta puede ser una pregunta muy tonta, y tal vez tenga que ver con los mismos atajos que hacen que no especifiquemos "$\forall c \in \mathbb R$" al sumar la constante$c$en las soluciones de una integral indefinida, pero esta duda realmente me está desafiando y todavía no entiendo si me estoy perdiendo algún punto o en realidad debería escribirse$x(t)=c_1=0 \in \int \dot x\ dt$. ¡Muchas gracias por adelantado!