¿Cómo obtener distancia cuando la aceleración no es constante?

Hay tres casos aquí:

1. La aceleración es una función del tiempo.$a(t)$. Entonces la velocidad es

   $$v(t)=v_c+\int a(t)\,{\rm d}t \tag{1}$$ y la posición en función del tiempo $$x(t)= x_c + \int v(t)\,{\rm d}t \tag{2}$$ La distancia se calcula a partir de$x(t)$.

2. La aceleración es función de la posición.$a(x)$. Entonces la velocidad en función de la posición es

   $$\frac{1}{2}v(x)^2 = w_c + \int a(x)\,{\rm d}x \tag{3}$$ y el tiempo en función de la posición $$t(x) = t_c + \int \frac{1}{v(x)}\,{\rm d}x \tag{4}$$ que necesita ser resuelta para$x(t)$.

3. Por último, la aceleración es una función de la velocidad.$a(v)$. Entonces el tiempo como función de la velocidad nos $$t(v) = t_c + \int \frac{1}{a(v)}\,{\rm d}v \tag{5}$$ y la posición en función de la velocidad es $$x(v) = x_c + \int \frac{v}{a(v)}\,{\rm d}v \tag{6}$$ que necesitan ser resueltas para$x(v(t))$

_{Dónde$x_c$,$v_c$,$t_c$y$w_c$son constantes de integración de unidades apropiadas}

Ejemplo 1

$a(t) = -100 \sin(10 t)$, con$x(0)=0$y$v(0)=10$

$$v(t) = \int -100\sin(10 t)\,{\rm d}t = 10\,\cos(10 t)$$ $$x(t) = \int 10\cos(10 t)\,{\rm d}t= \sin(10 t)$$

Ejemplo 2

$a(x) = -100 x$, con$x(0)=0$y$v(0)=10$

$$\frac{1}{2}v(x)^2 = \int -100 x {\rm d}x = 50 (1-x^2)$$ $$v(x) = 10 \sqrt{\left(1-x^2\right)}$$ $$t(x) = \int \frac{1}{10 \sqrt{\left(1-x^2\right)}}\,{\rm d}x = \frac{\sin^{-1}(x)}{10}$$ $$x(t) = \sin(10 t)$$

Ejemplo 3

$a(v) = 100 - 5 v$, con$x(0)=0$y$v(0)=10$

$$t(v) = \int \frac{1}{100 - 5 v}\,{\rm d}v = -\frac{1}{5}\ln{ \left( \frac{20-v}{10} \right) }$$ $$x(v) = \int \frac{v}{100 - 5 v}\,{\rm d}v = 2-\frac{v}{5}-4 \ln{\left(\frac{20-v}{10}\right)}$$ con solucion$v(t) = 20-10 \hat{e}^{-5 t}$y$x(v(t)) = 2 \hat{e}^{-5 t}+20 t-2$

Técnicamente, la ecuación

$$d = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}t + \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\frac{t^2}{2}$$

no es correcto. En cambio, para una aceleración constante, necesita

$$d = \left(\left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_0\right) t + \left(\left.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\right|_0\right) \frac{t^2}{2}$$

En otras palabras, una cantidad como$\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$cambia en el tiempo, pero desea utilizar sólo la velocidad inicial. Sin embargo, creo que esto es lo que probablemente pretendías comenzar.

Si quisiera resolver el problema puramente cinemáticamente, entonces podría intentar expandir la posición en una serie de Taylor como escribió en su respuesta. Sin embargo, esto solo funciona si la función es igual a su serie de Taylor. Para funciones simples como funciones exponenciales y trigonométricas esto es cierto, pero no lo es para una persona que conduce un automóvil. Si una función es igual a su serie de Taylor en todas partes, si observa su posición en cualquier intervalo de tiempo finito, sin importar cuán corto sea, puede determinar completamente lo que hará el automóvil en el futuro. Esto no es realista.

En su lugar, querrá alguna forma de determinar la velocidad o la aceleración en función del tiempo o la posición. En física, es común poder determinar la aceleración en función de la posición. La razón es que la aceleración proviene de la ecuación

$$F=ma$$ de modo que si puede determinar las fuerzas presentes, conoce la aceleración y las derivadas de orden superior no son necesarias.

Si conoce la velocidad como una función del tiempo, simplemente puede integrarla para encontrar el desplazamiento.

$$d(t) = \int_{t_0}^t v(t') \mathrm{d}t'$$

Si conoce la aceleración en función del tiempo, también puede integrarla, aunque esta situación es menos común.

$$d(t) = v_0(t - t_0) + t\int_{t_0}^t a(t')\mathrm{d}t' - \int_{t_0}^t t'a(t')\mathrm{d}t'$$

Encontré esta expresión buscando algo cuya derivada con respecto al tiempo fuera la velocidad

$$v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t')\mathrm{d}t'$$

Si conoce la velocidad en función de la posición, tiene la ecuación diferencial

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x)$$

que se puede resolver por separación de variables.

Si conoce la aceleración en función de la posición, tiene la ecuación diferencial

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = a(x)$$

que no siempre es fácil de resolver. En escenarios más realistas, la aceleración dependerá no solo de la propia posición del objeto, sino también de las posiciones de las cosas con las que interactúa. Esto da ecuaciones diferenciales acopladas, que pueden simplificarse en casos especiales, pero con frecuencia solo pueden resolverse numéricamente.

Puede seguir agregando derivadas de orden superior hasta que se vuelvan extremadamente pequeñas. Un punto de entrada conveniente a este tema sería el artículo de Wikipedia Jerk (física) .

Tenga en cuenta que cuando está en un automóvil, la sacudida solo es relevante durante el tiempo en que el pedal del acelerador se está moviendo, en una aproximación de primer orden.

Actualización: parece que hace unas horas se planteó una pregunta con mucha relevancia para la suya en math.se: ¿Cuál es un ejemplo de una aplicación de un derivado de orden superior ($y^{(n)}$,$n≥4$)? . La respuesta de Arturo se expande en derivados más altos en cinemática (¡saltar!), Mientras que la respuesta de Greg incluye una fuente de sacudidas en la conducción que no consideré (dirección).

Encuentro que ayuda mucho a entender el fenómeno fundamental. Tienes tu ecuación correcta, pero considera su derivación:

Empezamos con la segunda ley de Newton,

${\bf F} = \dot{\bf p}$

dónde${\bf F}$es el vector fuerza y$\dot{\bf p}$es la derivada con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento. La ecuación que diste se obtiene asumiendo una fuerza constante e integrando dos veces con respecto al tiempo. Eso es,

$\frac{d {\bf F}}{dt} = 0 \implies \iint_0 ^t {\bf F} dt^2 = \frac{{\bf F} t^2}{2} + C_1 t + C_0$

de modo que

$x = \frac{{\bf F} t^2}{2m} + C_1 t + C_0$

con las constantes determinadas por las condiciones iniciales y las leyes de conservación. Dijiste que tienes una formación decente en cálculo, así que, si conoces la ecuación de la fuerza, deberías poder sustituirla en la ley de Newton e integrarla para obtener tu solución.

EJEMPLO

Suponga que todo está en el$\hat x$dirección para mayor comodidad. Si tomamos una fuerza simple como

${\bf F}(t) = \sin(\frac{\pi t}{t_{max}} - \frac{\pi}{2}) + F_{max}$

después,

$\int_0 ^t {\bf F}(t) dt = F_{max} t-\frac{t_{max}}{\pi} \sin(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1$

y,

$\iint_0 ^t {\bf F}(t) dt^2 = \frac{F_{max} t^2}{2}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1 t + C_0$

Trabajando a partir de la ecuación de Newton esto da

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1 t + C_0$

De las condiciones iniciales y las leyes de conservación vemos que

$C_0 = x_0 - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$

y

$C_1 = v_0$

Resultando en

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + v_0 t + x_0 - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$.

En el caso simple de velocidad y posición inicial cero,

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$.

Estás hablando de la serie de Taylor. La cosa completa es:

$$x(t) = x(0) + x'(0) t + x''(0) {t^2\over 2} + x^{(3)}(0) {t^3\over 6} + x^{(4)}(0) {t^4\over 4!} ...$$

Cada derivada de orden superior suma un término, y el n-ésimo término se divide por$n!$. Puede ver que esta es la expresión única al notar que si diferencia esto n veces y reemplaza x=0, obtiene la misma respuesta en ambos lados. Probarlo rigurosamente tampoco es difícil, pero requiere un buen límite en el tamaño de la n-ésima derivada en un intervalo.