¿Velocidad cero, aceleración cero?

Question

¿Velocidad cero, aceleración cero?

7453rfg

En una dimensión, la aceleración de una partícula se puede escribir como:

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d X} \frac{d X}{d t} = v \frac{d v}{d X}

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$

¿Esta ecuación implica que si:

v = 0

$v = 0$

Después,

\Rightarrow a = 0

$\Rightarrow a = 0$

Puedo pensar en varias situaciones en las que una partícula tiene una aceleración distinta de cero a pesar de estar en reposo instantáneo. ¿Que está pasando aqui?

Lame caliente

Lanza una pelota al aire. Una vez que sale de su mano, acelerará continuamente hacia abajo (ignorando la resistencia del aire) a 32 f/s/s. En algún punto, la pelota alcanzará la parte superior del arco y tendrá velocidad cero, pero seguirá acelerando hacia abajo en ese punto. (Si no acelerara hacia abajo, quedaría "atascado" en el aire).

eric lippert

Tengo algunas dificultades para seguir sus matemáticas aquí porque parece que está definiendo v como una función del tiempo y una función de la posición. Además, cuando dice "v = 0", ¿quiere decir "existe un momento en que la velocidad es cero" o "existe una posición en la que la velocidad es cero", o "la función de velocidad es la función que es cero en todas partes"? Creo que si define con más cuidado qué es v, aclarará su confusión.

eric lippert

@HotLicks: la pregunta original no es "¿cuál es una situación en la que la velocidad es cero pero la aceleración no?" -- el OP señala que hay muchas situaciones de este tipo. La pregunta es "¿qué está mal con mis matemáticas?", y lo que está mal con las matemáticas es la combinación de v en función del tiempo con v en función de la posición. Sin embargo, su ejemplo es muy útil porque ilustra el problema fundamental: ¡para el movimiento unidimensional de una pelota que se lanza hacia arriba y vuelve a caer, la velocidad no es una función de la posición porque hay posiciones que tienen dos velocidades diferentes !

Respuestas (7)

¿Velocidad cero, aceleración cero?

Lanza una pelota al aire. Una vez que sale de su mano, acelerará continuamente hacia abajo (ignorando la resistencia del aire) a 32 f/s/s. En algún punto, la pelota alcanzará la parte superior del arco y tendrá velocidad cero, pero seguirá acelerando hacia abajo en ese punto. (Si no acelerara hacia abajo, quedaría "atascado" en el aire).
Tengo algunas dificultades para seguir sus matemáticas aquí porque parece que está definiendo v como una función del tiempo y una función de la posición. Además, cuando dice "v = 0", ¿quiere decir "existe un momento en que la velocidad es cero" o "existe una posición en la que la velocidad es cero", o "la función de velocidad es la función que es cero en todas partes"? Creo que si define con más cuidado qué es v, aclarará su confusión.
@HotLicks: la pregunta original no es "¿cuál es una situación en la que la velocidad es cero pero la aceleración no?" -- el OP señala que hay muchas situaciones de este tipo. La pregunta es "¿qué está mal con mis matemáticas?", y lo que está mal con las matemáticas es la combinación de v en función del tiempo con v en función de la posición. Sin embargo, su ejemplo es muy útil porque ilustra el problema fundamental: ¡para el movimiento unidimensional de una pelota que se lanza hacia arriba y vuelve a caer, la velocidad no es una función de la posición porque hay posiciones que tienen dos velocidades diferentes !

alto · Answer 1

Lo correcto sería decir que "si v=0 y dv/dx es finito, entonces a=0".

Un ejemplo simple, para ayudar a ilustrar lo que está pasando, es el conocido caso de aceleración constante "-g" cerca de la superficie terrestre. En este ejemplo, consideramos que "x" es la altura sobre el suelo y asumimos que la x inicial es cero.

En este caso

X = - \frac{gramo t^{2}}{2} + v_{0} t

$x=-\frac{gt^2}{2}+v_0t$

v = v_{0} - gramo t

$v=v_0-gt$ y

a = - gramo

$a=-g$ y, claramente, "a" nunca puede ser cero, pero "v" puede ser cero... entonces, ¿qué da? Bueno... resolver para t(x) da

t (X) = \frac{1}{gramo} (v_{0} \pm \sqrt{v_{0}^{2} - 2 gramo X})

$t(x)=\frac{1}{g}(v_0\pm\sqrt{v_0^2-2gx})$ y

v (X) \equiv v (t (X)) = \pm \sqrt{v_{0}^{2} - 2 gramo X}

$v(x)\equiv v(t(x))=\pm\sqrt{v_0^2-2gx}$ y entonces

\frac{d v}{d X} = \frac{\pm gramo}{\sqrt{v_{0}^{2} - 2 gramo X}}

$\frac{dv}{dx}=\frac{\pm g}{\sqrt{v_0^2-2gx}}$ ...que es convenientemente infinito siempre que v sea cero.

Además, creo que se puede encontrar una forma más natural de pensar sobre este tema al considerar lo que realmente queremos decir con

v (X)

$v(x)$ y cómo hacemos para tomar la derivada wrtx

Lo que realmente queremos decir es que, dada alguna forma funcional para "v" como función de "t" llamada "v(t)", y dada alguna forma funcional para "x" como función de "t" llamada "x( t)", y dado que "x(t)" se puede invertir para encontrar "t(x)", entonces, como se mencionó anteriormente

v (X) = v (t (X)),

$v(x)=v(t(x))\;,$ que es una notación física tonta. Es claramente una notación tonta porque la "v()" del lado izquierdo no puede tener la misma forma que la "v()" del lado derecho. Así que realmente llamémoslo

\tilde{v}

$\tilde v$ . Es decir,

\tilde{v} (X) = v (t (X))

$\tilde v(x)=v(t(x))$ Esta función

\tilde{v}

$\tilde v$ es una función de x y la derivada con respecto a x es

\frac{d \tilde{v}}{d X} (X) = \frac{d v}{d t} (t (X)) \frac{d t}{d X} = \frac{\frac{d v}{d t} (t (X))}{\frac{d X}{d t}} = \frac{a (t (X))}{v (t (X))}

$\frac{d\tilde v}{dx}(x)=\frac{dv}{dt}(t(x))\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dv}{dt}(t(x))}{\frac{dx}{dt}}=\frac{a(t(x))}{v(t(x))}$ Es decir, (volver a la notación tonta y no escribir argumentos de funciones)

\frac{d v}{d X} = \frac{a}{v},

$\frac{dv}{dx}=\frac{a}{v}\;,$ entonces, claramente, para a constante, dv/dx es infinito siempre que v=0.

"Infinito"? ¿Está seguro? Aparentemente, está combinando valores indefinidos (en los límites) con infinito, especialmente en el caso de la raíz cuadrada de un valor negativo (presumiblemente, está rechazando números complejos): el resultado es inexistente, no infinito.
Eso no es coloquial, eso está mal... No creo que sea menos claro
Considere que mi pelota lanzada al aire puede tener una velocidad de exactamente cero en el tiempo T, pero cualquier delta-T lejos de ese tiempo (al menos en la mecánica newtoniana) necesariamente tendrá una velocidad distinta de cero. Creo que las matemáticas están mal.
¿Crees que las matemáticas están mal? Claramente, la velocidad es cero en el ejemplo en el vértice de la trayectoria y no es cero antes y después... ¿y qué?
Creo que su punto es que tienes una asíntota en v=0, el límite izquierdo es +infty mientras que el límite derecho es -infty. El problema matemático es que no está definido en v = 0, pero la discusión del infinito da una intuición de por qué este es el caso.

alfredo centauro · Answer 2

No, no implica que $a = 0$ .

Si en algún valor $t = t_0$ , la aceleración es distinta de cero mientras que la velocidad es cero, la función de posición es un mínimo o un máximo. Eso es, $x(t)$ está estacionario allí:

X (t_{0} + d t) = X (t_{0})

$x(t_0 + dt) = x(t_0)$

lo que significa que en $t = t_0$

\frac{d X}{d \dot{X}} = \frac{d X}{d v} = 0

$\frac{dx}{d\dot x} = \frac{dx}{dv} = 0$

de este modo $\frac{dv}{dx}$ es indefinido en $t = t_0$ .

Pablo · Answer 3

Puede aplicar la regla de la cadena si $v$ es diferenciable $x$ y $x$ es diferenciable $t$ . Creo que no hay otras condiciones, como parece decir esta publicación en MathSE, https://math.stackexchange.com/questions/688152/necessary-conditions-for-the-chain-rule-of- differenceiation-to-be -válido# =

y esta condición no siempre está disponible. Cuando $v=0$ ,Cerciorarse $\frac{dv}{dx}$ existir.

Publicación relacionada: ¿Cuándo se puede escribir ? $a=v \cdot dv/dx$ ?

semental · Answer 4

semental

Tenga en cuenta que cuando aplica la regla de la cadena, asume que dx no es cero. Esto te lo aclarará.

Ruslán

Nadie multiplica ni divide por

d x

$dx$ . Solo estamos usando la regla de la cadena .

semental

eso es lo mismo La prueba de la regla de la cadena requiere este criterio. Editaré la respuesta entonces.

Ruslán

No, no es. La regla de la cadena no depende en absoluto de los diferenciales.

semental

@Ruslan, entonces, ¿cuál es su prueba? Pensé que la regla de la cadena era para la diferenciación, por lo que su prueba tendría ese concepto.

Ruslán

Basta con leer el artículo de wikipedia .

eric lippert · Answer 5

Quiero tomar otro rumbo que el de las otras respuestas. Esta será una gran ola de mano en lugar de un argumento matemático riguroso, pero espero que la idea se transmita de manera intuitiva.

En primer lugar, como señalé en un comentario, y como notas de hft, está usando "v" para referirse tanto a "velocidad en función del tiempo" como a "velocidad en función de la posición". Eso es confuso, pero no hay ningún problema fundamental allí. Excepto...

Excepto que tus matemáticas dependen de poder diferenciar la velocidad con respecto a la posición. Esto requiere que la velocidad sea realmente una función de la posición.

¿Bajo qué circunstancias la velocidad unidimensional puede ser realmente una función de la posición? Debe haber exactamente una velocidad para cada posición. ¿Qué implica esto acerca de nuestra velocidad? ¡Que nunca debe cambiar de signo! Porque si cambia de signo, entonces nuestra partícula a veces va hacia delante ya veces hacia atrás, y por lo tanto debe haber una posición que se recorre tanto hacia atrás como hacia adelante, y por lo tanto la velocidad no sería una función de la posición.

Entonces, sin pérdida de generalidad, supongamos que la velocidad nunca es negativa. Supongamos también que las funciones de posición, velocidad y aceleración son continuas y diferenciables y todas esas cosas buenas.

Ahora pensemos en la fisicalidad de esta situación con respecto a la aceleración.

Suponga que la velocidad es positiva y la aceleración es cero o positiva.

La partícula está acelerando hacia el lado derecho, su posición es cada vez más positiva, más rápida todo el tiempo si la aceleración es positiva, y no más lenta si es cero. Claramente, la velocidad nunca será cero si esto continúa.

Entonces supongamos que la velocidad es positiva y la aceleración es negativa. Nuestra partícula es cada vez más lenta. Siempre moviéndote a la derecha, eso sí, porque por suposición, la velocidad es una función de la posición. Pero cada vez más lento a medida que avanza.

Ahora, supongamos que se vuelve más y más lento, pero nunca alcanza la velocidad cero en ningún momento. No hay problema allí. La aceleración tiene que acercarse cada vez más a cero, pero ni la aceleración ni la velocidad llegan a cero.

Bien, hemos eliminado un montón de casos de la consideración: el caso en el que la aceleración es cero y la velocidad nunca cambia, el caso en el que la aceleración es positiva y la velocidad nunca disminuye, y el caso en el que la aceleración es negativa y la velocidad se acerca y más cerca de cero, pero nunca llega allí. Solo nos importan las situaciones en las que la velocidad llega a cero.

Ahora, consideremos el caso en el que la velocidad comienza como positiva, la aceleración es negativa y, como resultado, la velocidad llega a cero en algún momento. ¿Qué tiene que pasar con la aceleración en el punto donde la velocidad se vuelve cero ? La aceleración no puede ser negativa en ese punto, porque si lo fuera entonces la partícula empezaría a retroceder y sabemos que no lo hace. La aceleración tiene que ser cero en ese punto o positiva.

Suponga que la aceleración es positiva en el momento en que la velocidad es cero. Evidentemente, era negativo antes de que la velocidad se volviera cero; no podríamos haber reducido la velocidad a cero desde una velocidad positiva si la aceleración fuera positiva o cero. ¡Pero esto contradice nuestra suposición de que la función de aceleración era una buena función diferenciable suave! La aceleración pasó instantáneamente de un valor negativo a un valor positivo sin pasar por cero y, por lo tanto, no era una buena función continua.

La única posibilidad que queda es que la aceleración sea cero en el punto donde la velocidad es cero. Que es precisamente lo que querías mostrar.

Puedo pensar en varias situaciones en las que una partícula tiene una aceleración distinta de cero a pesar de estar en reposo instantáneo. ¿Que está pasando aqui?

Lo que sucede es que en todas esas situaciones, la aceleración es discontinua en ese punto, o la velocidad no es en realidad una función de la posición, como lo requieren sus matemáticas.

paparazzi · Answer 6

¿De dónde sacas esa sustitución?

Eso no es una fracción como en números con reglas de fracciones

Es dv(t) / dt - no puedes sustituir dt así
Eso es v con respecto a t

Claramente, las derivadas tienen diferentes reglas de producto
d(uv)/dx = u ⋅ dv/dx + v ⋅ du /dx

No hay una regla para la sustitución o equivalente que hizo
No hay base para eso

Agnius Vasiliauskas · Answer 7

No.

Expresión

a = v \frac{d v}{d X}

$a = v \frac{dv}{dx}$

implica que en caso $v=0$ , la posición no cambia, en ese caso $dx=0$ y entonces

\frac{d v}{d X} = \infty

$\frac {dv}{dx} = \infty$ , de este modo :

a_{(v = 0)} = 0 \cdot \infty = indefinido

$a_{(v=0)} = 0 \cdot \infty = \text{undefined}$

Lo que ha derivado en realidad es una forma de medir la aceleración del cuerpo dado su gradiente de velocidad:

a = v (\frac{\partial v}{\partial X} i + \frac{\partial v}{\partial y} j + \frac{\partial v}{\partial z} k) = v_{_{X, y, z}} \nabla v

$\mathbf a=v \left({\frac {\partial v}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial v}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial v}{\partial z}}\mathbf {k} \right) = v_{_{x,y,z}} \nabla v$

¿Velocidad cero, aceleración cero?

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