Motivación para las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos

En Mecánica Lagrangiana es posible motivar las ecuaciones de Euler-Lagrange mediante el principio de D'alembert. Esta es una ruta bastante más natural a seguir que comenzar a postular el principio de acción mínima. Una cosa buena que obtenemos es que terminamos "derivando" el principio de acción mínima, ya que las ecuaciones obtenidas son las ecuaciones de Euler-Lagrange para la acción

S [ γ ] = ∫ a b L ( γ ( t ) , γ ′ ( t ) ) d t .

Ahora, en la teoría clásica de campos, la mayoría de los recursos que he encontrado sobre el tema simplemente dicen:

Para encontrar las ecuaciones de movimiento de un campo φ se aplica el principio de mínima acción a la acción

S [ φ ] = ∫ L ( φ ( X ) , ∂ m φ ( X ) ) d 4 X .

Este es un recibo: dice lo que debe hacer para encontrar las ecuaciones de movimiento. Te dice que necesitas una función. L ( φ , ∂ m φ ) y que necesitas aplicar el principio variacional a la acción S así definido.

Aún así, es un poco oscuro para mí por qué alguien haría esto. Quiero decir, sé que funciona, pero ¿cómo llegó la gente a este resultado?

Siento que esto carece de motivación. Como dije, el principio variacional de la Mecánica Clásica es igualmente oscuro y mal motivado la mayor parte del tiempo, y realmente la primera vez que lo encontré me pregunté "¿cómo llegaron los físicos a esto y cómo alguien podría descubrirlo?" , sin embargo, el principio de D'alembert es capaz de resolver esto.

¿Qué pasa con la Teoría Clásica de Campos? ¿Cómo se puede motivar el principio de mínima acción? ¿Cómo descubrieron los físicos que esta es la forma de encontrar las ecuaciones de movimiento de un campo? ¿Cómo podría alguien decir "de dónde viene esto" en lugar de simplemente dar un recibo?

Si tiene un principio de acción mínima para la mecánica lagrangiana sin campos, ¿no le parece natural postular que la mecánica lagrangiana de campos funciona según el mismo principio, y la única diferencia es el número de grados de libertad? No considero que el principio de mínima acción carezca de motivación en absoluto.
Duplicado relacionado/posible: ¿ Por qué el principio de mínima acción?
En primer lugar, no derivamos el principio de acción mínima, es un axioma. Dice así: a lo largo de todas las configuraciones de campo matemáticamente posibles, la configuración que minimiza la acción es la físicamente correcta. En la naturaleza todo sistema obedece siempre al principio de mínima acción.

Respuestas (1)

Comentarios a la publicación (v1):

  1. El principio de acción estacionaria no es un requisito obligatorio que todas las teorías (de campo) deban obedecer. Históricamente, a menudo es una observación hecha en retrospectiva.

  2. Más bien, el punto de partida de una teoría (de campo) [aparte de, por ejemplo, la entrada experimental] suele ser sus ecuaciones clásicas de movimiento [por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell en E&M, las ecuaciones de campo de Einstein en GR, etc.].

  3. A priori no se garantiza que exista una formulación de acción variacional, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE [e históricamente apareció más tarde que las EOM en el caso de E&M y GR], pero sorprendentemente a menudo existe. Esto nos lleva a, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

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