¿Por qué la acción de Einstein no es la acción de Yang-Mills para la teoría de calibre del álgebra de Poincaré?

Es bien conocido cómo construir la gravedad de Einstein como teoría de norma del álgebra de Poincaré. Véase, por ejemplo , la relatividad general como teoría de medida del álgebra de Poincaré .

Hay

1. Construcción de la derivada covariante :

2. Imponer restricción covariante en la geometría:

   $$[\nabla_m, \nabla_n] = -i R_{mn}^{\;\;\;a}P_a -\frac{i}{2}R_{mn}^{\;\;\;ab}M_{ab}$$ $$R_{mn}^{\;\;\;a} = 0.$$ A partir de esta ecuación, la conexión de espín$ω^{\;\;\;cd}_m$se expresa en términos de veilbein$e^{\;\;a}_m$.

3. Ahora, uno puede construir fácilmente la acción de Einstein-Hilbert :

   $$S_{EH} = \int d^d x e \;R_{mn}^{\;\;\;ab} e_a^{\;m}e_b^{\;n}$$ $e_a^{\;m}$es velo inverso$e_a^{\;m} e_m^{\;b}= \delta_a^b$. Tensor métrico: $$g_{mn} = e_m^{\;a}e_n^{\;b} \eta_{ab}.$$

Pero uno puede modificar el segundo paso y obtener otras acciones , con una conexión de giro dinámico adicional :

1. $$S_{EH} = \int d^d x e \;R_{mn}^{\;\;\;ab} e_a^{\;m}e_b^{\;n}.$$

2. $$S_{YM} = \int d^d x e \left(\;R_{mn}^{\;\;\;ab} R_{kl}^{\;\;\;cd}g^{mk}g^{nl}\eta_{ad}\eta_{bc} + R_{mn}^{\;\;\;a} R_{kl}^{\;\;\;b}g^{mk}g^{nl}\eta_{ab}\right).$$

Así que tengo algunas preguntas:

¿ Qué describirá la acción estándar de Einstein-Hilbert en este caso ?

¿ Qué es la teoría de Yang-Mills para el grupo de Poincaré ? ¿ Qué propiedades tiene tal teoría?

¿Por qué la acción de Einstein no es la teoría de Yang-Mills para el grupo de Poincaré?