Grados de libertad del gravitón versus grados de libertad clásicos

Tengo un rompecabezas que ni siquiera puedo entender. Un gravitón se entiende generalmente en D dimensiones como un campo con algunos componentes independientes o grados de libertad (DOF), a partir de un tensor simétrico menos restricciones, obtenemos:

  1. Un gravitón sin masa tiene D ( D − 3 ) / 2 dof en D -espacio-tiempo dimensional.

  2. Un gravitón masivo tiene D ( D − 1 ) / 2 − 1 dof en D -espacio-tiempo dimensional.

Asunto: En la gravedad clásica, dada por la Relatividad General, tenemos una métrica (un tensor simétrico) y las Ecuaciones de Campo de Einstein (EFE) proporcionan su dinámica. La métrica tiene 10 componentes independientes y EFE proporciona 10 ecuaciones. Las identidades de Bianchi reducen el número de componentes independientes en 4. Por lo tanto, tenemos 6 componentes independientes. Sin embargo, por D = 4 , obtenemos

  1. 2 componentes independientes.

  2. 5 componentes independientes.

¿Es el desajuste entre los componentes "independientes" de los grados de libertad gravitacionales (componentes del gravitón) una de las razones por las que la Relatividad General no puede entenderse como una teoría cuántica del gravitón?

Por supuesto, un gravitón masivo es una cosa diferente que GR, pero incluso un conteo ingenuo del dof de gravitón no es compatible con GR y debería, ¿no? Al menos desde el enfoque perturbativo. ¿Dónde cometí el error?

¿Esto ayuda? -- en.wikipedia.org/wiki/… . No veo ninguna mecánica cuántica en la pregunta. Parece puramente clásico.
Esta pregunta (v3) también se aborda, por ejemplo, en las respuestas this y this Phys.SE.
@BenCrowell Bueno, ciertamente tengo cierta confusión, por eso pregunté. GR es una teoría de campo clásica para la métrica (sin torsión). El campo gravitacional se proporciona con la ayuda de una métrica. Por lo tanto, estoy interesado en la cantidad de componentes independientes del "gravitón" debido a las fórmulas de Weinberg que escribí anteriormente. Sin embargo, contar dof independiente no coincide con lo que creía.

Respuestas (4)

En cuanto a contar grados de libertad para GR, creo que va: Comience con un tensor simétrico (10 grados de libertad en 4-D). Deseche 4 debido a las identidades de Bianchi (quedan 6 dof). Deseche otros 4 debido a la invariancia bajo los difeomorfismos del espacio-tiempo (en otras palabras, GR es invariante bajo las Transformaciones de coordenadas generales, por lo que tiene 4 grados de libertad no físicos). Por lo tanto, solo quedan dos grados de libertad.

Con respecto a la gravedad masiva, ver: Aspectos teóricos de la gravedad masiva por Kurt Hinterbichler [arxiv 1105.3735] que tiene una introducción bastante legible.

Pregunta: ¿No eran las identidades de Bianchi las 4 relaciones debidas a Diff. invariancia en sí también? De todos modos, creo que entiendo mejor estas cosas... :). Por cierto, gracias por la referencia.
El 4 Las identidades de Bianchi reducen el número de ecuaciones de Einstein independientes a 6 de 10 y esto está en correspondencia con la reducción del número de grados de libertad independientes de la métrica de 10 a 6 debido a la invariancia del difeomorfismo de las ecuaciones de Einstein. Las identidades de Bianchi y la invariancia del difeomorfismo representan la misma redundancia de calibre, por lo que simplemente se debe verificar que estén tomando el mismo número de grados de libertad, no se deben agregar. Corrígeme si estoy malinterpretando. Estoy basando mi entendimiento en S. Weinberg, Capítulo 7, Sección 4, pp. 161 .

Como puedo recordar, para el caso de la electrodinámica clásica, el conteo de grados de libertad comienza después de la suposición de la Identidad de Bianchi, y al final, el resultado deseado proviene de la libertad de calibre. De hecho ∂ [ m F v α ] = 0 solo elija una forma adecuada para F m v , Por ejemplo

F m v = ∂ m A v − ∂ v A m .
Después de esta elección de los cuatro componentes de A m (nuestro punto de partida para el conteo de grados de libertad) debemos tener en cuenta la libertad de calibre al elegir los cuatro potenciales, es decir
A m ∼ A m + ∂ m Λ .
Por ejemplo si queremos ∂ m A m = 0 , debemos realizar una transformación de calibre con Λ tal que
◻ Λ = − ∂ m A m .
En este punto nos quedamos con otra posible transformación de calibre (libertad de calibre residual) tal que ∂ m A m = 0 todavía se mantiene, es decir, debemos elegir otro Λ con
◻ Λ = 0 .
Es la libertad de medida la que fija los números correctos de grados de libertad para el fotón.
4 − 1 − 1 = 2.
En el caso de GR el camino es el mismo: ecuación de Einstein, ecuación diferencial de Bianchi para R m v α β y la libertad de gauge (difeomorfismos espacio-temporales). Nuevamente puedes realizar dos de estas transformaciones y tienes como dices 10 − 4 − 4 = 2 dof

No estoy seguro de que esto sea correcto: "Por ejemplo, si queremos ∂ m A m = 0 , debemos realizar una transformación de calibre con Λ tal que
◻ Λ = − ∂ m A m .
" Puedes explicarlo ?

Solía ​​contar los grados de libertad en términos de representación del espinor. Hay dos representaciones de espinores de SO(3,1) (1/2,0) y (0,1/2) indicadas por índices de puntos y sin puntos. La representación del vector (espín 1) en los índices de espinor es (1/2,0) X (0,1/2) = (1/2,1/2) que tiene 4 grados de libertad. Si la teoría no tiene masa, la teoría es invariante de calibre, hay un grado de libertad de calibre, que puede eliminarse mediante la condición de fijación del calibre. Un dof es similar al tiempo, que no es físico. Entonces 4-1-1 = 2 grados de libertad físicos quedan. Para el tensor simétrico tenemos (1/2,1/2)X (1/2,1/2) = (1,0)+ (0,1)+ (1,1)+(0,0) El irreducible la representación simétrica es solo de 9 dimensiones. La transformación de coordenadas general elimina 4 grados de libertad (que esencialmente son 4 coordenadas de espacio-tiempo). Así que el giro masivo 2 tiene 9-4=5 grados de libertad. La teoría del spin 2 sin masa será invariante de calibre, donde podemos eliminar 1 dof. Dos dofs son similares al tiempo y no se propagan. Entonces solo quedan 5-1-2 grados de libertad. Podemos extender el argumento a una dimensión arbitraria.

¿Puede explicar esto en detalle: "Para el tensor simétrico tenemos (1/2,1/2)X (1/2,1/2) = (1,0)+ (0,1)+ (1,1) +(0,0) La representación simétrica irreducible es solo de 9 dimensiones. " ?

Puedes pensar en diff como bianchi id. Los 4 dof adicionales se eliminan por el hecho de que 4 de los 4 del EFE son restricciones.

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