¿Por qué falla la construcción de clase adecuada de la compactación de Stone-Čech?

Question

¿Por qué falla la construcción de clase adecuada de la compactación de Stone-Čech?

lógica
teoría de conjuntos
Matemáticas
compactación
topología general

Keshav Srinivasan

El artículo de Wikipedia sobre la compactación de Stone-Čech ofrece varias construcciones, una de las cuales es esta:

Un intento de construir la compactación de Stone-Čech de $X$ es tomar el cierre de la imagen de $X$ en
$\prod_{F : X \to k} k$ $\prod\nolimits_{f:X\to K} K$ donde está el producto sobre todos los mapas de $X$ para compactar espacios de Hausdorff $K$ . Por el teorema de Tychonoff, este producto de espacios compactos es compacto y, por lo tanto, el cierre de ''X'' en este espacio también es compacto. Esto funciona intuitivamente, pero falla por la razón técnica de que la colección de todos estos mapas es una clase adecuada en lugar de un conjunto. Hay varias formas de modificar esta idea para que funcione; por ejemplo, uno puede restringir los espacios compactos de Hausdorff $C$ tener un conjunto subyacente $P(P(X))$ (el conjunto potencia del conjunto potencia de $X$ ), que es lo suficientemente grande como para tener una cardinalidad al menos igual a la de cada conjunto compacto de Hausdorff al que $X$ se puede mapear con una imagen densa.

Mi pregunta es, ¿por qué esta construcción de la compactación de Stone-Čech "falla"? ¿Hay algo ilegítimo en que un producto infinito sea una clase adecuada o en dotar de una topología a una clase adecuada? ¿O se trata de aplicar el axioma de elección a las clases adecuadas? ¿O que?

¿La existencia de $\prod\nolimits_{f:X\to K} K$ seguir desde cualquiera $NBG$ o $MK$ ?

Alex Kruckmann

Bueno, un espacio topológico es un conjunto equipado con una topología...

Keshav Srinivasan

@AlexKruckman Pero en matemáticas todo el tiempo hablamos de cosas como funciones de clase, grupos de clase, etc. Así que no veo ningún problema con la definición de un "espacio topológico de clase".

Yuan Qiaochu

Puedes definir todo tipo de cosas, pero luego tienes que probar cosas sobre ellas. Dado que este producto es demasiado grande para ser un conjunto, a priori no se le pueden aplicar teoremas que son teoremas sobre conjuntos, como el teorema de Tychonoff. Incluso para establecer la compacidad de esta cosa requiere que considere colecciones arbitrarias de subclases abiertas de la misma, lo que sea que eso signifique, y tal vez esas colecciones también deban ser más grandes que los conjuntos.

Alex Kruckmann

@KeshavSrinivasan Ok, digamos que define "espacio topológico de clase" en un marco que puede manejar esta definición, y desarrolla suficiente teoría de espacios topológicos de clase para demostrar que la compactación de Stone-Čech existe como un espacio topológico de clase. Luego, todo lo que ha hecho es demostrar una versión menos precisa del teorema habitual, que dice que la compactación de Stone-Čech existe como un espacio topológico (establecido).

Keshav Srinivasan

@AlexKruckman En realidad, si no me equivoco, incluso cuando se define en términos de esta construcción de clase adecuada, la compactación Stone-Cech seguirá siendo un conjunto y no una clase adecuada. Aunque podría estar equivocado.

Alex Kruckmann

@KeshavSrinivasan Ese es exactamente mi punto... su teorema es menos preciso , porque omitió la parte de la prueba que muestra que el objeto que construyó es en realidad (isomorfo a) un conjunto.

Keshav Srinivasan

@AlexKruckman No veo por qué, si logró probar suficientes resultados sobre espacios topológicos de clase, por qué no podría probar que el objeto construido en términos de clases adecuadas es un conjunto en lugar de una clase adecuada. Entonces, en lo que a mí respecta, el resultado final sería igualmente preciso, no menos preciso, pero todo esto es especulación hasta que descubramos si realmente se puede hacer.

Pablo escarcha

Entonces, ¿no es esta su pregunta: por qué desterramos las clases de la topología y las restringimos a conjuntos?

Keshav Srinivasan

@PaulFrost Quiero decir, para mí está bastante claro que PODEMOS definir una noción de "espacio topológico de clase". Lo que no me queda claro, sin embargo, es si de haberlo hecho podremos probar los resultados que necesitamos probar para llevar a cabo la construcción de la compactación Stone-Cech.

andreas blass

El problema indicado en el formulario de cita de Wikipedia no es que obtenga un espacio topológico de clase adecuada. Es que el conjunto índice del producto, el conjunto de todas las funciones continuas de

X

$X$ en espacios compactos, es una clase adecuada. Eso significa que el "espacio" del producto es demasiado grande para ser siquiera una clase. Si se siente cómodo con una teoría de conjuntos que permite no solo clases sino también superclases (que pueden tener clases como miembros), entonces este producto estará bien. (Pero si alguna vez desea la compactación Stone-Cech de un espacio de clase superior, necesitará productos de clase hiper-super-duper).

Keshav Srinivasan

@AndreasBlass Si publica una respuesta que muestra que esta construcción de la compactación de Stone-Cech funciona (como el teorema de Tychonoff, etc.) si permite superclases, me complacería aceptarlo.

Respuestas (1)

¿Por qué falla la construcción de clase adecuada de la compactación de Stone-Čech?

Bueno, un espacio topológico es un conjunto equipado con una topología...
@AlexKruckman Pero en matemáticas todo el tiempo hablamos de cosas como funciones de clase, grupos de clase, etc. Así que no veo ningún problema con la definición de un "espacio topológico de clase".
Puedes definir todo tipo de cosas, pero luego tienes que probar cosas sobre ellas. Dado que este producto es demasiado grande para ser un conjunto, a priori no se le pueden aplicar teoremas que son teoremas sobre conjuntos, como el teorema de Tychonoff. Incluso para establecer la compacidad de esta cosa requiere que considere colecciones arbitrarias de subclases abiertas de la misma, lo que sea que eso signifique, y tal vez esas colecciones también deban ser más grandes que los conjuntos.
@KeshavSrinivasan Ok, digamos que define "espacio topológico de clase" en un marco que puede manejar esta definición, y desarrolla suficiente teoría de espacios topológicos de clase para demostrar que la compactación de Stone-Čech existe como un espacio topológico de clase. Luego, todo lo que ha hecho es demostrar una versión menos precisa del teorema habitual, que dice que la compactación de Stone-Čech existe como un espacio topológico (establecido).
@AlexKruckman En realidad, si no me equivoco, incluso cuando se define en términos de esta construcción de clase adecuada, la compactación Stone-Cech seguirá siendo un conjunto y no una clase adecuada. Aunque podría estar equivocado.
@KeshavSrinivasan Ese es exactamente mi punto... su teorema es menos preciso , porque omitió la parte de la prueba que muestra que el objeto que construyó es en realidad (isomorfo a) un conjunto.
@AlexKruckman No veo por qué, si logró probar suficientes resultados sobre espacios topológicos de clase, por qué no podría probar que el objeto construido en términos de clases adecuadas es un conjunto en lugar de una clase adecuada. Entonces, en lo que a mí respecta, el resultado final sería igualmente preciso, no menos preciso, pero todo esto es especulación hasta que descubramos si realmente se puede hacer.
Entonces, ¿no es esta su pregunta: por qué desterramos las clases de la topología y las restringimos a conjuntos?
@PaulFrost Quiero decir, para mí está bastante claro que PODEMOS definir una noción de "espacio topológico de clase". Lo que no me queda claro, sin embargo, es si de haberlo hecho podremos probar los resultados que necesitamos probar para llevar a cabo la construcción de la compactación Stone-Cech.
El problema indicado en el formulario de cita de Wikipedia no es que obtenga un espacio topológico de clase adecuada. Es que el conjunto índice del producto, el conjunto de todas las funciones continuas de $X$ en espacios compactos, es una clase adecuada. Eso significa que el "espacio" del producto es demasiado grande para ser siquiera una clase. Si se siente cómodo con una teoría de conjuntos que permite no solo clases sino también superclases (que pueden tener clases como miembros), entonces este producto estará bien. (Pero si alguna vez desea la compactación Stone-Cech de un espacio de clase superior, necesitará productos de clase hiper-super-duper).
@AndreasBlass Si publica una respuesta que muestra que esta construcción de la compactación de Stone-Cech funciona (como el teorema de Tychonoff, etc.) si permite superclases, me complacería aceptarlo.

andrea marino · Answer 1

Me gustaría darle una perspectiva un poco más general, asumiendo que sabe un poco de teoría de categorías.

Dejar $Top$ ser la categoría de espacio topológico y $\bf CHaus$ la subcategoría completa de $Top$ dada por espacios compactos de Hausdorff. Dejar $j\colon\bf CHaus \to Top$ Sea el funtor de inclusión.

El problema de encontrar la compactación de piedra Čech es equivalente a encontrar un adjunto izquierdo $\beta\colon\bf Top \to CHaus$ . De hecho, busca una compactación universal en el siguiente sentido: para cualquier $f\colon X \to i(C)$ dónde $X \in\mathbf{Top}, C \in\mathbf{CHaus}$ , hay una extensión única $\beta X \to C$ .

¿Existe un adjunto izquierdo a la inclusión? Invocaremos aquí la

Teorema general del funtor adjunto . Si $C$ es completo y localmente pequeño y $R: C\to D$ preservar pequeños límites, entonces $R$ tiene un adjunto izquierdo si y solo si satisface la condición del conjunto solución.

La condición del conjunto solución se puede establecer de la siguiente manera: para cada objeto $Y \in D$ , existe un pequeño conjunto $I$ de mapas $Y \to R(X_i)$ eso es "inicial"; esto significa que para cualquier $Z \in C$ y un mapa $Y \to R(Z)$ , existen algunos $i$ y un mapa $X_i \to Z$ de modo que

Y \to R (Z) = Y \to R (X_{i}) \to R (Z)

$Y \to R(Z) = Y \to R(X_i) \to R(Z)$

El único si parte es simple. Si existe un adjunto $L$ , entonces $\{LY\}$ será el conjunto solución: para cualquier $Y \to R(Z)$ , por complemento tienes $LY \to Z$ , y es un resultado clásico que

Y \to R (Z) = Y \to R L Y \to R (Z)

$Y \to R(Z) = Y \to RLY \to R(Z)$

Conclusiones . Tenga en cuenta que $\bf CHaus$ es estable para productos y cocientes, lo que da que $\bf CHaus$ Esta completo. También es localmente pequeño, porque $\operatorname{Hom}(X, Y)$ es un conjunto para cualquier espacio $X, Y$ . La inclusión conserva límites, porque tanto los productos como los cocientes en $\bf CHaus$ se calculan como en $\bf Top$ .

Dado que se verifican las hipótesis de GAFT, la existencia del adjunto izquierdo es equivalente a encontrar un pequeño conjunto de soluciones. Ya que para cualquier $f\colon X \to C$ dónde $C \in\bf CHaus$ estos factores a través $\overline{\operatorname{Im} f} \in\bf CHaus$ , puede tomar la solución pequeña conjunto de compactos Hausdorff en el que $X$ es denso, que está acotado en cardinalidad.

En lo que quiero que se centre es en que el tamaño puede ser un problema real, y existen ejemplos en los que no se puede aplicar GAFT; no porque haya algún argumento que involucre clases que harían el trabajo, sino porque el adjunto izquierdo no existe en absoluto . Vea el ejemplo 3.1 en la página de nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+functor+theorem

Algunas fuentes también pueden referirse al teorema como el "teorema del funtor adjunto de Freyd".
Sí, yo también lo sabía así, pero trata de pronunciar FAFT... 😆

¿Por qué falla la construcción de clase adecuada de la compactación de Stone-Čech?

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Alex Kruckmann

Keshav Srinivasan

Yuan Qiaochu

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Pablo escarcha

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andreas blass

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