Clasificación de conjuntos de ubicaciones abstractas por sus propiedades estructurales

Tratando de comprenderlo correctamente, está tratando de poder decir en qué tipo de entorno se encuentra dentro del espacio, pero no necesariamente su ubicación exacta.

Por ejemplo, considere los números reales con la topología habitual. Cada dos intervalos abiertos son isomorfos, por lo que dado un subconjunto de$\mathbb{R}$quiere decir "Este es un intervalo abierto". incluso si no puede especificar sus extremos exactos.

Lo que ha descrito en cursiva es esencialmente tomar todas las subestructuras de$L$y clasificándolos por clases de isomorfismo. Cuando enseñamos introducción a la lógica, introducimos el concepto de isomorfismo de estructura en un lenguaje de primer orden, daré la definición aquí, por simplicidad minimizaré el lenguaje para que tenga solo una relación binaria, una función unaria y un símbolo constante.

Suponer$L$es un idioma con$R$, una relación binaria;$F$, una función unaria; y$c$una constante.

Dejar$M,N$ser dos estructuras para el lenguaje$L$. La función$f\colon M\to N$es un isomorfismo de estructuras si:

1. $f$es una biyección;
2. $f(c^M)=c^N$(eso es$f$traduce las constantes del idioma);
3. para cada$a,b\in M$la relación$\langle a,b\rangle\in R^M\iff \langle f(a),f(b)\rangle\in R^N$(eso es$f$conserva la relación$R$); y
4. para cada$a\in M$tenemos$f(F^M(a)) = F^n(f(a))$(eso es$f$conmuta con el símbolo de función$F$)

Se podría exigir la preservación de la interpretación de una sola manera, y agregar que$f^{-1}$también tienen esas propiedades.

En cierto modo, esto significa que la forma en que interpretas$L$en la estructura$M$y en$N$es exactamente igual Por supuesto que puede haber muchos isomorfismos entre dos estructuras, incluso entre una estructura y ella misma puede haber infinitos.

Esta noción es una forma general de ver el isomorfismo de muchas estructuras en matemáticas, ya sean espacios lineales (por operadores lineales que son biyectivos), espacios topológicos (por homeomorfismo), etc.

Ahora, también añadimos la noción de subestructura. Dado que el lenguaje solo tiene relaciones, simplifica las cosas (ya que las funciones requieren un poco más de trabajo):

Suponer$L$es un lenguaje sin símbolos de función ni constantes, y$M$es una estructura de$L$.

una subestructura$N$de$M$(indicado generalmente$N < M$) es una estructura de$L$tal que el universo de$N$es un subconjunto del universo de$M$; y$R^N = R^M\cap |N|\times|N|$(dónde$|N|$es el universo de$N$).

Si el lenguaje tiene constantes y funciones se requiere que$N$también contendrá todas las constantes y se cerrará bajo las funciones, sin embargo, en su caso es el caso simple como$S$sólo está hecho de relaciones.

Finalmente llegamos al punto, lo que me parece que estás haciendo en ese texto tuyo en cursiva es tener un idioma al que llamas$S$y una estructura para ello$L$, ahora intenta clasificar todas las subestructuras de$L$por clases de isomorfismo.

En cuanto al grupo de transformación, no estoy seguro de entender esa parte de su pregunta, y me encantaría agregar más información a mi respuesta si tiene alguna pregunta o aclaración sobre la pregunta en sí.

Una nota final que me viene a la mente es que, a veces, cuando se habla de subconjuntos, se requiere una lógica de segundo orden (es decir, poder cuantificar subconjuntos del universo), pero las ideas que he descrito anteriormente funcionan de la misma manera.