Grado superficial de divergencia en Weinberg

Al leer el volumen 1 del libro QFT de Weinberg, capítulo 12, página 505, dice que si considera un diagrama con grado de divergencia D ≥ 0 , su contribución se puede escribir como un polinomio de orden D en momentos externos. Como ejemplo, considera el D = 1 integral

∫ 0 ∞ k d k k + q = a + b q + q en ⁡ q .

dónde a y b son constantes divergentes, y vemos que obtenemos un polinomio de orden 1 en los momentos externos q . Luego dice, y cito

"Ahora, un término polinomial en momentos externos es justo lo que se produciría agregando términos adecuados al Lagrangiano, si un gráfico con mi F líneas externas de tipo F (refiriéndose al tipo de campo) tiene un grado de divergencia D ≥ 0 , entonces el polinomio ultravioleta divergente es el mismo que se produciría al agregar varias interacciones i con norte i F = mi F campos de tipo F y d i ≤ D derivados".

¿Alguien puede profundizar un poco en esto? en particular, ¿cómo y dónde surge el polinomio con el término lagrangiano agregado?

Respuestas (1)

  1. Descargo de responsabilidad: la renormalización es un tema enorme con muchas facetas, como, por ejemplo, divergencias superpuestas de subgráficos, regularización , grupo de renormalización , etc. Aquí solo elaboraremos la cita de OP de la Ref. 1.

  2. Árbitro. 1 está considerando un diagrama de Feynman F ( q 1 , … , q mi ) en el espacio de Fourier de cantidad de movimiento, con 4 momentos externos ( q 1 , … , q mi ) , y con 4 momentos internos ( pag 1 , … , pag I ) , que se integran sobre. El pag -Se supone que las integraciones son UV divergentes con un grado de divergencia superficial positivo (SDOD) D ≥ 0 . Con respecto a SDOD, consulte, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE relacionada aquí .

  3. Aquí mi = ∑ F mi F es el número total de líneas externas, y mi F es el número de líneas externas de tipo campo F .

  4. Si diferenciamos el diagrama de Feynman D + 1 veces wrt. los 4-momentos externos, el integrando se convierte en UV finito. Concluimos que la parte divergente del diagrama de Feynman original F ( q 1 , … , q mi ) es un polinomio en ( q 1 , … , q mi ) de orden ≤ D . ¡Observe que los coeficientes del polinomio son posiblemente infinitos!

  5. A continuación, agregamos nuevos términos de interacción a la densidad lagrangiana L correspondiente a mi -vértices con mi F campos de tipo de campo F , y posiblemente un número finito de derivadas del espacio-tiempo (que en el espacio de impulso de Fourier se convierte en un monomio de impulso). Los nuevos términos de interacción son los llamados contratérminos .

  6. Feynman nos instruye a sumar todos los diagramas de Feynman con mi F patas externas de tipo campo F . En particular, también deberíamos incluir diagramas que consisten en un solo mi -vértice procedente de los nuevos contratérminos de interacción. Al ajustar las constantes de acoplamiento posiblemente infinitas frente a los nuevos contratérminos de interacción, el diagrama de Feynman completo se puede hacer finito.

Referencias:

  1. S. Weinberg, Teoría cuántica de campos, vol. 1; Sección 12.2, pág. 506.

  2. ME Peskin y DV Schroeder, Introducción a QFT, 1995; Sección 10.1, pág. 319.

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