¿Signo del factor de vértice contratérmino (Srednicki)?

Question

¿Signo del factor de vértice contratérmino (Srednicki)?

Física
energía propia
renormalización
Feynman-diagramas
formalismo lagrangiano
teoría cuántica de campos

arturo don juan

Mi pregunta se refiere a un mero signo menos que, aunque irrelevante en mi problema específico (como se mostrará), temo que pueda morderme más adelante.

En el capítulo 14 de Srednicki, el autor está calculando la corrección de 1 bucle al propagador en un renormalizado $\phi^3$ teoría:

\begin{matrix} (9.1) & L = L_{0} + L_{I} + L_{C t} \end{matrix}

$\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\mathcal{L}_I+\mathcal{L}_{ct}\tag{9.1}$

con:

\begin{aligned} (9.8) & L_{0} & = - \frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} \\ (9.9) & L_{I} & = \frac{1}{3!} Z_{gramo} gramo ϕ^{3} \\ L_{C t} & = - \frac{1}{2} \underset{A}{\underset{⏟}{(Z_{ϕ} - 1)}} (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{2} \underset{B}{\underset{⏟}{(Z_{metro} - 1)}} {metro}^{2} ϕ^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L}_0&=-\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\tag{9.8} \\ \mathcal{L}_I&=\frac{1}{3!}Z_{g}g\,\phi^3\tag{9.9}\\ \mathcal{L}_{ct}&=-\frac{1}{2}\underset{A}{\underbrace{(Z_{\phi}-1)}}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}\underset{B}{\underbrace{(Z_m-1)}}m^2\phi^2 \end{align}$

Srednicki es cuidadoso con cada factor de $\pm i$ al escribir el propagador completo: un factor de $+i$ para cada vértice, y un factor de $1/i$ para cada propagador.

\begin{matrix} (14.2) & \frac{1}{i} Δ (k^{2})_{lleno} = \frac{1}{i} Δ (k^{2}) + \frac{1}{i} Δ (k^{2}) (i Π (k^{2})) \frac{1}{i} Δ (k^{2}) + \dots \end{matrix}

$\frac{1}{i}\Delta(k^2)_{\text{full}}=\frac{1}{i}\Delta(k^2)+\frac{1}{i}\Delta(k^2)\left(i\Pi(k^2)\right)\frac{1}{i}\Delta(k^2)+\ldots\tag{14.2}$

que se representa esquemáticamente en la Fig. 14.2 a continuación.

La corrección de vértice de orden más bajo para el propagador, $i\Pi (k^2)$ , es dado por:

\begin{matrix} (14.4) & i Π (k^{2}) = \underset{bucle}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (i gramo)^{2} \int \frac{d^{d} yo}{(2 π)^{d}} {(\frac{1}{i})}^{2} Δ ({yo}^{2}) Δ ((yo + k)^{2})}} \underset{contratérmino}{\underset{⏟}{- i (A k^{2} + B {metro}^{2})}} \end{matrix}

$i\Pi(k^2)=\underset{\text{loop}}{\underbrace{\frac{1}{2}(ig)^2\int \frac{d^dl}{(2\pi)^d}\left(\frac{1}{i}\right)^2\Delta (l^2) \Delta ((l+k)^2)}}\,\underset{\text{counterterm}}{\underbrace{\, \color{red}{-i}(Ak^2+Bm^2)}}\tag{14.4}$

He coloreado de rojo mi problema. ¿Por qué el factor contratérmino $-i=1/i$ en lugar de $+i$ ? Es simplemente un vértice (cuadrático), por lo que debería venir con un factor de $+i$ , ¿bien? En el LHS, tenemos el vértice generalizado, que viene con un factor de $i$ . En el RHS, observe el término del ciclo: tenemos el factor de simetría $1/2$ , factor de $i$ para cada vértice, y un factor de $1/i$ para cada propagador. ¿Por qué esto no es cierto para la parte del contratérmino?

En esta situación particular en realidad no importa porque al final definimos $A$ y $B$ para satisfacer ciertas condiciones de normalización de campo y masa (idealmente cancelando infinitos que aparecen en la integral de bucle).

Respuestas (1)

¿Signo del factor de vértice contratérmino (Srednicki)?

sean · Answer 1

De

L_{C t} = - \frac{1}{2} A (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{2} B {metro}^{2} ϕ^{2}

$\mathcal {L}_{ct} = -\frac{1}{2}A\,(\partial\phi)^2 - \frac{1}{2}B\, m^2 \phi^2$

obtenemos

\begin{aligned} i \int d^{4} X L_{C t} & = i \int d^{4} X (- \frac{1}{2} A (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{2} B {metro}^{2} ϕ^{2}) \\ = i \int d^{4} X (- \frac{1}{2} A \partial (ϕ \partial ϕ) + \frac{1}{2} A ϕ \partial^{2} ϕ - \frac{1}{2} B {metro}^{2} ϕ^{2}) \\ = i \int d^{4} X (\frac{1}{2} A ϕ \partial^{2} ϕ - \frac{1}{2} B {metro}^{2} ϕ^{2}) \\ = i \int d^{4} X ϕ [(\frac{1}{2}) (A \partial^{2} - B {metro}^{2})] ϕ \\ = i \int d^{4} X ϕ [(\frac{1}{2}) (- 1) (- A \partial^{2} + B {metro}^{2})] ϕ \end{aligned}

$\begin{align} i \int d^4x\; \mathcal{L}_{ct} &= i \int d^4x\; \left( -\frac{1}{2}A\,(\partial\phi)^2 - \frac{1}{2}B\, m^2 \phi^2 \right) \\ &= i \int d^4x\; \left( -\frac{1}{2}A\, \partial(\phi\partial\phi) + \frac{1}{2}A\,\phi\,\partial^2\phi - \frac{1}{2}B\, m^2 \phi^2 \right) \\ &= i \int d^4x\; \left( \frac{1}{2}A\,\phi\,\partial^2\phi - \frac{1}{2}B\, m^2 \phi^2 \right) \\ &= i \int d^4x\; \phi\left[ \left(\frac{1}{2}\right)\left(A\,\partial^2 - B\, m^2 \right) \right]\phi \\ &= i \int d^4x\; \phi\left[ \left(\frac{1}{2}\right)(-1)\left(-A\,\partial^2 + B\, m^2 \right) \right]\phi \\ \end{align}$

La segunda línea utiliza la integración por partes, la tercera línea elimina la divergencia total.

Esto corresponde a un vértice de

- i (A k^{2} + B {metro}^{2})

$-i (A\,k^2 + B\, m^2)$

en el espacio de cantidad de movimiento (recuerde que $-\partial^2e^{ikx} = k^2\, e^{ikx}$ ).

Si ese fuera el origen del signo menos, ¿no se aplicaría también a otros factores de vértice? ¿No deberíamos tener también $-ig$ para cada vértice de 3 puntos, y correspondientemente un $+i$ para cada propagador?
@ArturodonJuan el signo menos no tiene relación con nada más, también puedes escribir el vértice como $i (-A k^2 - B m^2)$ . Edité mi respuesta para aclararla.

¿Signo del factor de vértice contratérmino (Srednicki)?

arturo don juan

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sean

arturo don juan

sean

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