Sí. Tanto las cubiertas universales como las extensiones centrales incurridas durante la cuantificación provienen del mismo concepto fundamental:

Representaciones proyectivas

Si$\mathcal{H}$es nuestro espacio de estados de Hilbert, entonces los distintos estados físicos no son vectores $\psi\in\mathcal{H}$, sino rayos , ya que la multiplicación por un número complejo no cambia los valores esperados dados por la regla

$$\langle A\rangle_\psi = \frac{\langle \psi \vert A \vert \psi \rangle}{\langle \psi \vert \psi \rangle}$$ ni las probabilidades de transición $$P(\lvert \psi \rangle \to \lvert \phi \rangle) = \frac{\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle\rvert^2}{\langle \phi \vert \phi \rangle\langle \psi \vert \psi \rangle}$$ El espacio adecuado a considerar, donde cada elemento del espacio es de hecho un estado físico distinto, es el espacio proyectivo de Hilbert $$\mathrm{P}\mathcal{H} := \mathcal{H} /\sim$$ $$\lvert \psi \rangle \sim \lvert \phi \rangle :\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb{C}: \lvert \psi \rangle = c\lvert\phi\rangle$$ que es solo una forma elegante de escribir que cada rayo complejo se ha reducido a un punto. Por el teorema de Wigner , cada simetría debe tener alguna representación unitaria, no necesariamente única.$\rho : G \to \mathrm{U}(\mathcal{H})$. Como tiene que descender a una transformación de rayo bien definida , la acción de la simetría viene dada por un homomorfismo de grupo en el grupo unitario proyectivo $G \to \mathrm{PU}(\mathcal{H})$, que se encuentra en una secuencia exacta $$1 \to \mathrm{U}(1) \to \mathrm{U}(\mathcal{H}) \to \mathrm{PU}(\mathcal{H}) \to 1$$ dónde$\mathrm{U}(1)$representa el "conjunto de fases" que se desdobla al pasar al espacio proyectivo. Ya es importante notar que esto significa$\mathrm{U}(\mathcal{H})$es una extensión central de$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$por$\mathrm{U}(1)$.

Clasificar todas las posibles representaciones permitidas cuánticamente de un grupo de simetría$G$, necesitamos entender los homomorfismos del grupo de Lie permitidos$\sigma : G\to\mathrm{PU}(\mathcal{H})$. Dado que las representaciones lineales son más agradables para trabajar que estas extrañas cosas proyectivas, veremos

Clasificación de representaciones proyectivas por representaciones lineales unitarias

Para cualquier$g\in G$, elige un representante$\Sigma(g)\in\mathrm{U}(\mathcal{H})$para cada$\sigma(g)\in\mathrm{PU}(\mathcal{H})$. Esta elección es altamente no única y es esencialmente responsable de cómo aparece la extensión central. Ahora, ya que para cualquier$g,h\in G$tenemos$\sigma(g)\sigma(h) = \sigma(gh)$, las elecciones de los representantes deben cumplir

$$\Sigma(g)\Sigma(h) = C(g,h)\Sigma(gh)$$ para algunos$C : G\times G\to\mathrm{U}(1)$. Aplicando la asociatividad a$\Sigma(g)\Sigma(h)\Sigma(k)$da el requisito de consistencia $$C(g,hk)C(h,k) = C(g,h)C(gh,k)\tag{1}$$ que también se llama la identidad del cociclo . Para cualquier otra opción$\Sigma'$, Debemos tener $$\Sigma'(g) = f(g)\Sigma(g)$$ para algunos$f : G \to \mathrm{U}(1)$.$\Sigma'$tiene un asociado$C'$, y así obtenemos $$C'(g,h)\Sigma'(gh) = \Sigma'(g)\Sigma'(h) = f(g)f(h)C(g,h)f(gh)^{-1}\Sigma'(gh)$$ lo que produce el requisito de consistencia $$C'(g,h)f(gh) = f(g)f(h)C(g,h)\tag{2}$$ Por lo tanto, las representaciones proyectivas se clasifican dando la elección de representantes unitarios$\Sigma$, pero los que están relacionados por$(2)$dan la misma representación proyectiva. Formalmente, el conjunto $$H^2(G,\mathrm{U}(1)) := \{C : G\times G \to \mathrm{U}(1)\mid C \text{ fulfills } (1)\} / \sim$$ $$C \sim C' :\Leftrightarrow \exists f : (2) \text{ holds }$$ clasifica las representaciones proyectivas de$G$. Queremos usarlo para construir una representación unitaria de algo que clasifique la representación proyectiva:

Definir el producto semidirecto $G_C := G \ltimes_C \mathrm{U}(1)$para cualquier representante$C$de un elemento en$H^2(G,\mathrm{U}(1)$dotando al producto Cartesion$G \times \mathrm{U}(1)$con la multiplicacion

$$(g,\alpha)\cdot(h,\beta) := (gh,\alpha\beta C(g,h))$$ Se puede comprobar que se trata de una extensión central, es decir, la imagen de$\mathrm{U}(1)\to G \ltimes_C\mathrm{U}(1)$esta en el centro de$G_C$, y $$1 \to \mathrm{U}(1) \to G_C \to G \to 1$$ es exacto Para cualquier representación proyectiva$\sigma$, arreglar$\Sigma,C$y definir la representación lineal $$\sigma_C : G_C \to \mathrm{U}(\mathcal{H}), (g,\alpha) \mapsto \alpha\Sigma(g)$$ Por el contrario, toda representación unitaria$\rho$de algunas$G_C$da un par$\Sigma,C$por$\Sigma(g) = \alpha^{-1}\rho(g,\alpha)$.

Por lo tanto, las representaciones proyectivas están en biyección a las representaciones lineales de extensiones centrales.

En el nivel de las álgebras de Lie, tenemos$\mathfrak{u}(\mathcal{H}) = \mathfrak{pu}(\mathcal{H})\oplus\mathbb{R}$, donde el elemento base$\mathrm{i}$de$\mathbb{R}$genera múltiplos de la identidad$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mathrm{Id}$. Omitimos el$\mathrm{Id}$a continuación, cada vez que se suma un número real a un elemento del álgebra de Lie, se supone que se multiplica por él.

Repitiendo los argumentos anteriores para las álgebras de Lie, obtenemos que la representación proyectiva$\sigma : G \to \mathrm{PU}(\mathcal{H})$induce una representación del álgebra de Lie$\phi : \mathfrak{g}\to\mathfrak{pu}(\mathcal{H})$. Una elección de representantes$\Phi$en$\mathfrak{u}(H)$clasifica tal representación proyectiva junto con un elemento$\theta$en

$$H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R}) := \{\theta : \mathfrak{g}\times\mathfrak{g} \to \mathbb{R}\mid \text{ fulfills } (1') \text{ and } \theta(u,v) = -\theta(v,u)\} / \sim$$ $$\theta \sim \theta' :\Leftrightarrow \exists (b : \mathfrak{g}\to\mathbb{R}) :\theta'(u,v) = \theta(u,v) + b([u,v])$$ con condición de consistencia $$\theta([u,v],w) + \theta ([w,u],v) + \theta([v,w],u) = 0 \tag{1'}$$ que$\theta$respeta la identidad jacobi, esencialmente.

Así, una representación proyectiva de$\mathfrak{g}$se clasifica por$\Phi$junto con un$\theta\in H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$. Aquí, la extensión central está definida por$\mathfrak{g}_\theta := \mathfrak{g}\oplus\mathbb{R}$con soporte de mentira

$$[u\oplus y,v\oplus z] = [u,v]\oplus\theta(u,v)$$ y obtenemos una representación lineal de ella en$\mathfrak{u}(\mathcal{H})$por $$\phi_\theta(u\oplus z) := \Phi(u) + a$$

Nuevamente, obtenemos una biyección entre representaciones proyectivas de$\mathfrak{g}$y los de sus prolongaciones centrales$\mathfrak{g}_\theta$.

Coberturas universales, cargas centrales

Finalmente estamos en posición de decidir qué representaciones de$G$debemos permitir cuánticamente. Distinguimos tres casos:

1. No hay extensiones centrales no triviales de cualquiera$\mathfrak{g}$o$G$. En este caso, todas las representaciones proyectivas de$G$ya están dados por las representaciones lineales de$G$. Este es el caso, por ejemplo,$\mathrm{SU}(n)$.

2. No hay extensiones centrales no triviales de$\mathfrak{g}$, pero hay extensiones centrales discretas de$G$por$\mathbb{Z}_n$en vez de$\mathrm{U}(1)$. Esos evidentemente también descienden a representaciones proyectivas de$G$. Las extensiones centrales de los grupos de Lie por grupos discretos solo cubren grupos de ellos, porque la cobertura universal$\overline{G}$da el grupo$G$como el cociente$\overline{G}/\Gamma$por un subgrupo central discreto$\Gamma$isomorfo al grupo fundamental del grupo cubierto. Así conseguimos que todas las representaciones proyectivas de$G$vienen dadas por representaciones lineales de la cubierta universal. No se producen cargos centrales. Este es el caso, por ejemplo,$\mathrm{SO}(n)$.

3. Hay extensiones centrales no triviales de$\mathfrak{g}$, y en consecuencia también de$G$. Si el elemento$\theta\in H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$no es cero, hay una carga central - el generador de la$\oplus\mathbb{R}$en$\mathfrak{g}_\theta$, o de manera equivalente la carga conservada perteneciente al subgrupo central$\mathrm{U}(1)\subset G_C$. Esto sucede para el álgebra de Witt, donde no equivalente$\theta(L_m,L_n) = \frac{c}{12}(m^3 - m)\delta_{m,-n}$se clasifican por numeros reales$c\in \mathbb{R}$.