¿Ejemplo concreto de que la representación proyectiva del grupo de simetría ocurre en un sistema cuántico excepto en el caso del medio entero de espín?

Question

¿Ejemplo concreto de que la representación proyectiva del grupo de simetría ocurre en un sistema cuántico excepto en el caso del medio entero de espín?

Física
simetría
espacio de hilbert
mecánica cuántica
representaciones de grupo
teoría de la representación

Anónimo

Por primera vez aprendí que existe una representación proyectiva del grupo de simetría en el QFT vol1 de Weinberg. En el libro de texto de Weinberg, la definición de simetría de un sistema es que una simetría es una biyección del espacio de Hilbert tal que para cualquier estado normalizado $|\Psi\rangle$ , $|\Phi\rangle$ y los estados mapeados $|\Psi'\rangle$ , $|\Phi'\rangle$

| ⟨ Ψ | Φ ⟩ | = | ⟨ Ψ^{'} | Φ^{'} ⟩ | .

$|\langle \Psi|\Phi\rangle| = |\langle \Psi'|\Phi'\rangle|.$

Con esta definición, vemos que el grupo de simetría del sistema admite una representación proyectiva:

tu (T_{2}) tu (T_{1}) = {mi}^{i ϕ (T_{2}, T_{1})} tu (T_{2} T_{1}) .

$U(T_2)U(T_1)=e^{i\phi(T_2,T_1)}U(T_2T_1).$

Por ejemplo, girar- $1/2$ es una representación proyectiva de $SO(3)$ grupo. Quiero considerar si hay otra simetría, excepto la simetría interna, que puede ocurrir en una representación proyectiva en un sistema, pero no puedo construir una.

En mecánica cuántica, la definición de simetría $S$ es un operador que conmuta con hamitoniano $H$ , es decir

[S, H] = 0.

$[S,H]=0.$ Entonces vemos en la energía propia

E_{i}

$E_i$ subespacio,

H ψ_{m}^{i} = {mi}_{i} ψ_{m}^{i}

$H\psi^i_\mu=E_i \psi^i_\mu$ con

μ = 1, 2, \dots, f_{i}

$\mu=1,2,\cdots,f_i$ . Ese es el espacio propio de la energía.

E_{i}

$E_i$ con dimensión

f_{i}

$f_i$ .

H S ψ_{m}^{i} = S H ψ_{m}^{i} = {mi}_{i} S ψ_{m}^{i} .

$HS\psi^i_\mu=SH\psi^i_\mu=E_i S\psi^i_\mu.$ Entonces

S ψ_{μ}^{i}

$S\psi^i_\mu$ sigues teniendo la misma energia

E_{i}

$E_i$ y debe ser expandido por

ψ_{ν}^{i}

$\psi^i_\nu$ con

ν = 1, 2, \dots, f_{i}

$\nu=1,2,\cdots,f_i$ . Defina los coeficientes de expansión como $D^i_{\nu\mu}(S)$ ,

S ψ_{m}^{i} = \sum_{v} D_{v m}^{i} (S) ψ_{v}^{i}

$S\psi^i_\mu= \sum_\nu D^i_{\nu\mu}(S)\psi^i_\nu$ Para dos simetrías cualesquiera

R, S

$R,S$ con

[R, H] = 0 = [S, H]

$[R,H]=0=[S,H]$ , entonces $RS\equiv Q$ en su conjunto debe ser una simetría porque

[R S, H] = [R, H] S + R [S, H] = 0

$[RS,H]=[R,H]S+R[S,H]=0$ .

Por un lado,

R S ψ_{v}^{i} = R \sum_{m} D_{m v}^{i} (S) ψ_{m}^{i} = \sum_{m γ} D_{m v}^{i} (S) D_{γ m}^{i} (R) ψ_{γ}^{i} = \sum_{m γ} D_{γ m}^{i} (R) D_{m v}^{i} (S) ψ_{γ}^{i}

$RS\psi^i_\nu=R\sum_\mu D^i_{\mu\nu}(S)\psi^i_\mu =\sum_{\mu\gamma}D^i_{\mu\nu}(S) D^i_{\gamma \mu}(R)\psi^i_\gamma= \sum_{\mu\gamma} D^i_{\gamma \mu}(R)D^i_{\mu\nu}(S)\psi^i_\gamma$ Por otro lado,

R S ψ_{v}^{i} = q ψ_{v}^{i} = \sum_{γ} D_{γ v}^{i} (q) ψ_{γ}^{i} == \sum_{γ} D_{γ v}^{i} (R S) ψ_{γ}^{i} .

$RS\psi^i_\nu=Q \psi^i_\nu=\sum_\gamma D^{i}_{\gamma\nu}(Q)\psi^i_\gamma==\sum_\gamma D^{i}_{\gamma\nu}(RS)\psi^i_\gamma.$ Entonces

D^{i} (R S) = D^{i} (R) D^{i} (S) .

$D^i(RS)=D^i(R)D^i(S).$

Es decir, solo podemos obtener la representación del grupo de simetría que no sea la representación proyectiva.

Mi pregunta:

¿Significa que solo la representación del grupo de simetría puede ocurrir en el sistema cuántico? De acuerdo con la derivación anterior, si es cierto, ¿cuál es el significado de discutir la representación proyectiva?
Si la respuesta de la primera pregunta es No. ¿Cuál es la laguna en mi argumento? Y excepto en el caso de medio entero de espín bajo rotación (o grupo de Lorentz, grupo de Poincaré), dame un ejemplo concreto de representación proyectiva del grupo de simetría que pueda ocurrir.

una mente curiosa

¿Por qué hay un índice griego aquí? ¿Y por qué la representación de la simetría actúa sobre él y no sobre el índice romano?

usuario153663

@ACuriousMind índice romano

i

$i$ denota el espacio propio con energía

E_{i}

$E_i$ . índice griego

μ ν

$\mu\nu$ denote la etiqueta de estados propios en este espacio propio.

una mente curiosa

(Dejando de lado la cuestión de que el índice romano es completamente superfluo) ¿Qué sucede exactamente en la línea después de "para dos simetrías cualesquiera"? Si

R

$R$ y

S

$S$ son sus operadores de simetría abstracta y

D

$D$ es el mapa de representación, entonces

R S ψ

$RS\psi$ no tiene ningún sentido - tienes que escribir

D (R) D (S) ψ

$D(R)D(S)\psi$ o

D (R S) ψ

$D(RS)\psi$ desde el comienzo. Te has engañado a ti mismo creyendo que

R S ψ

$RS\psi$ a) tiene sentido yb) es igual a ambos, donde por b) has asumido implícitamente que la representación no es proyectiva.

usuario153663

@ACuriousMind

R S \equiv Q

$RS\equiv Q$ en su conjunto debe ser una simetría porque

[R S, H] = [R, H] S + R [S, H] = 0

$[RS,H]=[R,H]S+R[S,H]=0$ .

usuario153663

@ACuriousMind No dije directamente

D (R)

$D(R)$ como la representación. Primero defino los coeficientes de expansión como

D_{ν μ}^{i} (S)

$D^i_{\nu\mu}(S)$ ,

S ψ_{m}^{i} = \sum_{v} D_{v m}^{i} (S) ψ_{v}^{i}

$S\psi^i_\mu= \sum_\nu D^i_{\nu\mu}(S)\psi^i_\nu$ Luego encuentro que los coeficientes son la representación de todo el grupo de simetría.

Respuestas (1)

¿Ejemplo concreto de que la representación proyectiva del grupo de simetría ocurre en un sistema cuántico excepto en el caso del medio entero de espín?

¿Por qué hay un índice griego aquí? ¿Y por qué la representación de la simetría actúa sobre él y no sobre el índice romano?
@ACuriousMind índice romano $i$ denota el espacio propio con energía $E_i$ . índice griego $\mu\nu$ denote la etiqueta de estados propios en este espacio propio.
(Dejando de lado la cuestión de que el índice romano es completamente superfluo) ¿Qué sucede exactamente en la línea después de "para dos simetrías cualesquiera"? Si $R$ y $S$ son sus operadores de simetría abstracta y $D$ es el mapa de representación, entonces $RS\psi$ no tiene ningún sentido - tienes que escribir $D(R)D(S)\psi$ o $D(RS)\psi$ desde el comienzo. Te has engañado a ti mismo creyendo que $RS\psi$ a) tiene sentido yb) es igual a ambos, donde por b) has asumido implícitamente que la representación no es proyectiva.
@ACuriousMind $RS\equiv Q$ en su conjunto debe ser una simetría porque $[RS,H]=[R,H]S+R[S,H]=0$ .
@ACuriousMind No dije directamente $D(R)$ como la representación. Primero defino los coeficientes de expansión como $D^i_{\nu\mu}(S)$ , $S ψ_{m}^{i} = \sum_{v} D_{v m}^{i} (S) ψ_{v}^{i}$ $S\psi^i_\mu= \sum_\nu D^i_{\nu\mu}(S)\psi^i_\nu$ Luego encuentro que los coeficientes son la representación de todo el grupo de simetría.

una mente curiosa · Answer 1

La confusión aquí surge de dos nociones diferentes de "simetría":

Simetría en el sentido del teorema de Wigner : Esta es la noción de simetría de Weinberg: una transformación de rayo que deja invariantes todos los productos internos. El teorema de Wigner dice que tales transformaciones de rayos tienen representantes (anti-) unitarios determinados hasta una fase, y cuando se trata de un grupo completo de tales transformaciones, esta ambigüedad en la fase es esencialmente de donde surge la noción de representaciones proyectivas. Para una revisión completa, vea también mi Q&A sobre representaciones proyectivas, extensiones centrales y cubiertas universales .
Simetría dinámica : Físicamente, la primera noción de "simetría" es demasiado débil: si los operadores (anti-) unitarios correspondientes a las transformaciones de rayos no conmutan con el hamiltoniano, la aplicación de la simetría antes de la evolución temporal produce resultados diferentes de la aplicación posterior. . En particular, los valores esperados de los operadores de "simetría" no se conservan en el tiempo, algo que queremos de las simetrías. Entonces, una simetría dinámica, lo que generalmente se llama simplemente una simetría del sistema , es un operador (o un conjunto de operadores) que conmuta con el hamiltoniano.

Ahora, si comienza con la noción de "un grupo de simetría" como un grupo de operadores en un espacio de Hilbert que conmuta con el hamiltoniano, entonces tiene razón en que no hay representaciones proyectivas: un grupo de operadores lineales está claramente representado linealmente en el espacio sobre el que actúan los operadores.

Las representaciones proyectivas surgen si sabemos que en abstracto debe haber una representación de un grupo de simetría abstracta $G$ (como el grupo de rotación, o el grupo de Lorentz, o cualquier otro grupo de simetría que tenga el sistema clásico que estamos cuantificando) en el espacio de estados. Entonces sabemos que:

A cada $g\in G$ hay una transformación de rayo $T(g)$ eso es una simetría en el sentido de Wigner.
Para cada $T(g)$ , los representantes (anti-) unitarios conmutan con el hamiltoniano. Si esto se cumple para un representante, se cumple para todos, ya que las fases se conmutan con todo. Una representación proyectiva de $G$ es una elección consistente de estos representantes.

Gracias. Podría dar otro ejemplo que involucre la representación proyectiva de otro grupo como $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ aparte del giro?
@fff123123 Un ejemplo muy destacado es la representación proyectiva del álgebra de Witt en la teoría del campo conforme, que generalmente se expresa en términos de las representaciones lineales de su versión extendida centralmente, el álgebra de Virasoro.
Pero creo que cualquier transformación unitaria puede mantener invariable el producto interno. Entonces, ¿cualquier transformación unitaria es una simetría en el primer sentido?
@fff123123 No, pero cualquier simetría en el primer sentido tiene representantes (anti-) unitarios, y todos los operadores unitarios inducen una transformación de rayo que es una simetría de primer tipo. Es importante notar que las simetrías del primer tipo son transformaciones de rayo , no operadores en el espacio de Hilbert, ya que este es exactamente el origen de las representaciones proyectivas.

¿Ejemplo concreto de que la representación proyectiva del grupo de simetría ocurre en un sistema cuántico excepto en el caso del medio entero de espín?

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En el tratamiento de Weinberg de las simetrías, ¿está realmente considerando un grupo abstracto subyacente?

El espacio propio es un irrep del grupo de simetría.

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