Cuando se estudian las representaciones irreducibles de SO(3) normalmente se miran las irrepeticiones de las rotaciones infinitesimales, es decir, las de so(3), el álgebra de mentira de SO(3). Los Irreps de so(3) pueden ser parametrizados por un solo número Estos irreps de so(3) pueden elevarse a irreps de SO(3), a través del mapa que asigna elementos de so(3) a SO(3).
Mi pregunta ahora es: ¿Cómo entra en juego SU(2)? IIRC, los irreps de SO (3) solo corresponden a los irreps de entero completo de so (3). ¿Cómo es esto posible cuando cada irrep de so(3) puede elevarse a uno de SO(3) como se describe arriba? ¿Se elevan varios irreps de so(3) a uno solo de SO(3)?
Si lo que dije hasta ahora es correcto, entonces el descubrimiento del efecto Zeeman requirió una mejora de esta teoría, ya que algunas líneas espectrales mostraron una degeneración de , lo que significa que j tenía que ser un medio entero: ¡solo los irreps enteros completos de SO(3) no son suficientes!
SO(3) y SU(2) son isomorfos entre sí, hasta las Rotaciones . ¿Cómo resuelve esto el problema de que SO(3) no tiene en cuenta las representaciones de medio entero?
¡Saludos y gracias de antemano!
Las álgebras de mentira y son isomorfos, pero los grupos de Lie y no son. De hecho es la doble portada de ; hay un homomorfismo 2-1 del primero al segundo.
¿Cómo es esto posible cuando cada irrep de so(3) puede elevarse a uno de SO(3) como se describe arriba?
Los irreps semienteros de no tiene correspondiente irreps, pero tienen correspondiente irresponsables Cuando tratas de exponenciar los irreps semienteros, no obtienes una representación de .
Una explicación de por qué nos perdemos cosas físicamente relevantes cuando consideramos solo y no su doble portada se da aquí:
qmecanico
una mente curiosa