Momento angular mecánico cuántico y formalismo/notación de espín

Actualmente estoy atascado en la siguiente notación:

1 2 ⊗ 1 2 = 0  (antisim)  ⊕ 1  (sim) 

No importa lo que intenté, no pude derivar la identidad. Estoy seguro de que es trivial, pero no puedo entender cómo tratar la notación. Sería genial si alguien pudiera escribir esto en notación matricial o en notación bra/ket con giros explícitos ( ↑↓ ).

¿Conoces las reglas para la suma de momentos angulares en mecánica cuántica? Supongo que en tu fórmula norte es un espacio de estados para un giro norte partícula, donde norte = 0 , 1 2 , 1 . La ecuación dice que el espacio de estado para dos espines 1 2 las partículas se pueden descomponer en una suma de espacios propios para el operador de espín total S = S ( 1 ) ⊗ I + I ⊗ S ( 2 ) . Esto se puede hacer utilizando los coeficientes de Clebsch-Gordan . ¡Si quieres más detalles, házmelo saber y los pondré en una respuesta!

Respuestas (3)

Los estados básicos de la izquierda están dados por

| ↑↑ ⟩ , | ↑↓ ⟩ , | ↓↑ ⟩ ,  y  | ↓↓ ⟩ .

A la derecha, se supone que debes simetrizar estos estados con respecto al intercambio del primer y segundo giro (eso es lo que significan sym y antisym). Solo hay una única combinación antisimétrica (intenta ver por qué solo hay esta hasta la multiplicación con una constante compleja)

| S ⟩ = 2 − 1 / 2 ( | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ )
dónde 2 − 1 / 2 es para propósitos de normalización. Debido a que este estado está solo, se le llama singlete.

El complemento ortogonal de los cuatro estados son tres estados (triplete) que son simétricos bajo intercambio

| T , 1 ⟩ = | ↑↑ ⟩ , | T , 0 ⟩ = 2 − 1 / 2 ( | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩ ) ,  y  | T , 1 ⟩ = | ↓↓ ⟩ .

Esto se escribe explícitamente lo que la notación

1 2 ⊗ 1 2 = 0  (antisim)  ⊕ 1  (sim) 
medio.

Muchas gracias por esta respuesta. Casi me satisface ;-). Lo único que todavía me pregunto es cómo calcula explícitamente la suma directa en el lado derecho. Leí sobre la suma directa en espacios de hilbert en en.wikipedia.org/wiki/… , pero desafortunadamente no pude aplicar las fórmulas dadas a los estados dados en su respuesta. Sería genial si pudieras agregar cómo calcular explícitamente el lado derecho. Muchas gracias.
Una suma directa H = V 1 ⊕ V 2 no es más que una declaración de que el Hilberspace H consiste en V 1 y V 2 , es decir, una base en H es la base combinada de V 1 y V 2 .

La notación del lado izquierdo se refiere al conjunto del producto tensorial de dos estados de espín-1/2 (dos componentes) y el lado derecho se refiere a la suma directa de un espín-0 (componente único) y un espín-1 ( tres componentes). El antisim. y sim. se refieren a tomar combinaciones simétricas y antisimétricas de giros.

Como no estoy seguro inmediatamente de cómo hacer bra/ket en Mathjax, usaré la notación matricial. Dejar ψ i y x i , i = 1 , 2 representan dos espinores de dos componentes. Los estados del lado izquierdo son ψ i x j . Hay cuatro de ellos correspondientes a las combinaciones. ( i , j ) = ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) . Estos se pueden reescribir en términos de las combinaciones lineales

ψ 1 x 2 − ψ 2 x 1

y

ψ 1 x 1 , ψ 1 x 2 + ψ 2 x 1 , ψ 2 x 2

donde he dejado fuera los factores de normalización. Estos son el singlete y el triplete en el lado derecho, respectivamente. Observe que el singlete es antisimétrico y el triplete es simétrico con el intercambio de índices.

Para probar que el triplete y el singlete tienen los valores declarados del momento angular, opere en los estados con el j → 2 = ( j → 1 + j → 2 ) 2 operador, donde j → 1 y j → 2 son los operadores de momento angular para el ψ y x componentes respectivamente. La única pieza no trivial es el término que implica j → 1 ⋅ j → 2 . Debería encontrar que no mezcla ninguno de los estados de combinación que he escrito.

usando el lenguaje de la teoría de grupos ( 1 2 , 0 ) ⨂ ( 1 2 , 0 ) = ( 1 2 , 1 2 ; 0 , 0 ) = ( 1 , 0 ) ⨁ ( 0 , 0 ) Para Su(2), (0,0) es un invariante, ϵ i j y es un tensor antisimétrico. (1,0) es un tensor simétrico. El número de índices de tensor es 2 s para ( s , 0 ) ≡ ( s ) .

referencias:

(1) Conferencia de Coleman: Una introducción a la simetría unitaria

(2) Álgebras de Georgi Lie en física de partículas (2ª edición) capítulo 10

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