Estoy leyendo algunas cosas introductorias sobre la teoría de la Representación aplicada a la física y estoy un poco confundido acerca de algunas cosas. El libro que uso es Lie Algebra in Particle Physics de Georgi (puedes encontrarlo aquí ) y la parte donde me confundí es la parte 1.16 donde encuentra los modos normales para 3 partículas conectadas por resortes, formando un triángulo. Así que quiero entender cómo funciona todo esto.
Por lo que entendí, encuentras la simetría del sistema y eliges las dimensiones adecuadas para la representación (en este caso, 6D y S3). Luego obtienes los caracteres de las matrices en esta representación y calculas los proyectores en el espacio de representaciones irreducibles. Ahora estoy un poco perdido. ¿Cómo se obtienen los modos normales (o en general los vectores propios asociados a una determinada representación irreducible, de los operadores proyectores)? Para los operadores de proyección asociados a la representación 1D, creo que lo entiendo, ya que son solo el producto entre el vector de columna y fila, que abarcan el espacio de esa representación. Pero para el proyector en representaciones de dimensiones superiores, estoy bastante perdido.
Además, no estoy seguro de entender qué debo hacer cuando la misma representación aparece varias veces. ¿Por qué tenemos solo un operador de proyección para ambos? Los vectores 6D (en este caso) que forman el espacio sobre el que actúa cada uno de ellos es diferente. Así que agradecería mucho si alguien me puede dar una explicación más clara de todo esto. ¡Gracias!
El primer paso es obtener cualquier vector en cada irrep y esto es lo que los proyectores pueden hacer por usted. Si la irrep es unidimensional esto es suficiente pero como bien señalas, cuando la irrep tiene mayor dimensión el proyector de caracteres no es suficiente para completar el cálculo.
Si tiene un estado en el irrep de dimensión mayor que 1, debe actuar sobre este estado con los elementos restantes del grupo para generar todos los vectores en el espacio y construir una base ortonormal a partir de estos vectores. Es fundamental que actúes con operadores de grupo ya que tienen la garantía de no sacarte de tu irrep.
Ahora, para obtener vectores propios, debe elegir operadores para diagonalizar. Si el irrep es 1-d eso es automático ya que todos los operadores actúan por multiplicación. Para el -dimensión independiente de deberá seleccionar un subconjunto de operadores que se conmutan mutuamente para obtener vectores propios ya que no es abeliano. Los operadores de desplazamiento se suelen tomar como identidad y : tienen un espectro distinto, por lo que es suficiente obtener los vectores propios comunes. (Esta parte no está muy clara de la discusión en Georgi; tendría que leer todo para entender la notación).
El operador de proyección depende únicamente de los irreps, y no de sus multiplicidades. Como resultado, el operador de proyección le dará un estado base en una irrepetición, pero no siempre es suficiente para obtener todos los estados base, especialmente si hay varias irrepeticiones. Por lo general, es mejor proceder por diagonalización, seleccionando una vez más un conjunto de operadores de conmutación. Cuando tiene varias copias de un irrep, tendrá valores propios degenerados; el subespacio degenerado es de la misma dimensión que la multiplicidad de los valores propios ya que la representación es equivalente a una representación unitaria. Como ocurre con todos los problemas de degeneraciones, no existe una forma única de seleccionar vectores propios. Una opción es elegir un primer vector para que sea el obtenido por el proyector, pero esa no siempre es una buena opción:
De todos modos, habiendo construido un vector propio en cada irrep, y asegurándose de que estos vectores iniciales sean ortogonales, puede proceder y construir los otros en el mismo irrep, uno a la vez, actuando sobre el vector inicial de ese irrep usando los elementos del grupo, garantizando así que no te salgas de la irrep.
Cuando se trata del grupo de permutación, existen cadenas de subgrupos naturales y "trucos" que usan operadores de clase: la buena referencia para esto es el texto de Chen, Ping y Wang. También existe el método de los simetrizadores Young que funcionará para cualquier irrep; los detalles se pueden encontrar en el texto de Wu-Ki Tung.