Encuentre exactamente 333 triples pitagóricos primitivos coincidentes para una hipotenusa dada

Question

Encuentre exactamente 333 triples pitagóricos primitivos coincidentes para una hipotenusa dada

triangulos
Matemáticas
teoría de los números
Geometría euclidiana
triples pitagóricos
ecuaciones diofánticas

poetasis

Estoy tratando de encontrar tres triples pitagóricos $\quad A^2+B^2=C^2 \quad\text{where}$

A_{1}^{2} + B_{1}^{2} = A_{2}^{2} + B_{2}^{2} = A_{3}^{2} + B_{3}^{2} = C^{2} y A_{1} \neq A_{2}, \neq A_{3} \land B_{1} \neq B_{2}, \neq B_{3}

$A_1^2+B_1^2=A_2^2+B_2^2=A_3^2+B_3^2=C^2\quad \text{and} \\ A_1\ne A_2,\ne A_3\quad\land \quad B_1\ne B_2,\ne B_3$

Es relativamente fácil encontrar ternas pitagóricas para una hipotenusa dada si resolvemos la función C de la fórmula de Euclides $A=m^2-k^2,\quad B=2mk,\quad C=m^2+k^2\quad$ para $k$ y pruebe un rango de valores m para ver cuáles producen números enteros. Aquí hay un ejemplo usando $C=65$ .

C = {metro}^{2} + k^{2} ⟹ k = \sqrt{C - {metro}^{2}} para ⌊ \frac{1 + \sqrt{2 C - 1}}{2} ⌋ \leq metro \leq ⌊ \sqrt{C - 1} ⌋

$\begin{equation} C=m^2+k^2\implies k=\sqrt{C-m^2}\qquad\\ \text{for}\qquad \bigg\lfloor\frac{ 1+\sqrt{2C-1}}{2}\bigg\rfloor \le m \le \lfloor\sqrt{C-1}\rfloor \end{equation}$ El límite inferior asegura

m > k

$m>k$ y el límite superior asegura

k \in N

$k\in\mathbb{N}$ .

C = sesenta y cinco ⟹ ⌊ \frac{1 + \sqrt{130 - 1}}{2} ⌋ = 6 \leq metro \leq ⌊ \sqrt{sesenta y cinco - 1} ⌋ = 8 \land metro \in {7, 8} \Rightarrow k \in {4, 1}

$C=65\implies \bigg\lfloor\frac{ 1+\sqrt{130-1}}{2}\bigg\rfloor=6 \le m \le \lfloor\sqrt{65-1}\rfloor=8\\ \quad\land \quad m\in\{7,8\}\Rightarrow k\in\{4,1\}\\$

F (7, 4) = (33, 56, sesenta y cinco) F (8, 1) = (63, dieciséis, sesenta y cinco)

$F(7,4)=(33,56,65)\qquad \qquad F(8,1)=(63,16,65)$

encontré $67$ valores C donde $\quad C=4n+1\space\text{ for }\space 81\le n\le 11925\quad$ con $3$ triples coincidentes cada uno pero, en todos los casos, uno o más de los triples tenían $\quad GCD(A,B,C)>1.\quad$ Realicé pruebas similares para 4-triples, 5-tiples, 6-triples y 7-triples pero, en todos mis casos [ciertamente limitados], solo un número par de ellos eran primitivos.

existe $3$ y solo $3$ triples primitivos con la misma hipotenusa?

Óscar Lanzí

¿Cuál es el número de ternas primitivas en cada caso? ¿Cómo se compara esto con el número de factores primos impares distintos de la hipotenusa? ¿Puedes discernir una correlación (no lineal) entre estas dos funciones? Dada esta correlación, ¿puede alguna vez obtener 3? O 5 o 6?

poetasis

En pruebas separadas, he encontrado

1, 2, 3, 4, 5, 6, o r 7

$1,2,3,4,5,6, or 7$ se triplica para un valor C dado. Por ejemplo, C=325 produce estos triples, pero solo dos son primitivos.

F (15, 10) = (125, 300, 325) F (17, 6) = (253, 204, 325) F (18, 1) = (323, 36, 325)

$f(15,10)=(125,300,325)\quad f(17,6)=(253,204,325)\quad f(18,1)=(323,36,325)$

Óscar Lanzí

¿ Cuántas ternas primitivas en cada caso? Para

325

$325$ dices que son dos Y se considera como

5^{2} \times 13

$5^2×13$ . Para

125

$125$ obtienes solo uno. que tiene solo el factor primo

5

$5$ . si probaste

1105 = 5 \times 13 \times 17

$1105=5×13×17$ Apuesto la casa a que tienes cuatro triples primitivos. Y para

32045 = 5 \times 13 \times 17 \times 29

$32045=5×13×17×29$ "Sospecho" que obtendrás... ocho.

poetasis

Puedo encontrar otros que

3

$3$ triplica pero no

3

$3$ . Por ejemplo, puedo encontrar exactamente

4

$4$ primitivas para cada uno de estos valores C. Estoy buscando

3

$3$ y no mas que

3

$3$ .

1105, 1885, 2405, 2465, 2665, 3145, 3445, 3485, 3965, 4505, 5185, 5365, 5785, 5945, 6205, 6305 6409, 6565, 7085, 7345, 7565, 7585, 7685, 8177, 8245, 8585, 8845, 8905, 9061, 9565, 9605, 9685 9805, 10205, 10585, 10865, 11245, 11285, 11645, 11713, 11765, 12505, 12545, 12665, 12805, 12905 13345, 13481, 13505, 13949, 14065, 14645, 14705, 14885, 14965, 15145, 15385, 15457, 15665, 15805

$1105, 1885, 2405, 2465, 2665, 3145, 3445, 3485, 3965, 4505, 5185, 5365, 5785, 5945, 6205, 6305\\ 6409, 6565, 7085, 7345, 7565, 7585, 7685, 8177, 8245, 8585, 8845, 8905, 9061, 9565, 9605, 9685\\ 9805, 10205, 10585, 10865, 11245, 11285, 11645, 11713, 11765, 12505, 12545, 12665, 12805, 12905\\ 13345, 13481, 13505, 13949, 14065, 14645, 14705, 14885, 14965, 15145, 15385, 15457, 15665, 15805$

individuo

mathoverflow.net/questions/375295/… Mira mi comentario allí.

Tomita

Si

C = p^{3}

$C=p^3$ dónde

p

$p$ es un primo congruente

1

$1$ modificación

4

$4$ , entonces existe

3

$3$ se triplica con la misma hipotenusa de la siguiente manera. Dejar

p = a^{2} + b^{2}

$p=a^2+b^2$ .

C^{2} = (6 a^{5} b - 20 a^{3} b^{3} + 6 a b^{5})^{2} + (a^{6} - 15 a^{4} b^{2} + 15 a^{2} b^{4} - b^{6})^{2} = (2 a b^{5} + 2 a^{5} b + 4 a^{3} b^{3})^{2} + (a^{6} - a^{2} b^{4} - b^{6} + a^{4} b^{2})^{2} = (- 4 a^{5} b + 4 a b^{5})^{2} + (a^{6} - 5 a^{4} b^{2} - 5 a^{2} b^{4} + b^{6})^{2}

$C^2=(6a^5b-20a^3b^3+6ab^5)^2+(a^6-15a^4b^2+15a^2b^4-b^6)^2=(2ab^5+2a^5b+4a^3b^3)^2+(a^6-a^2b^4-b^6+a^4b^2)^2=(-4a^5b+4ab^5)^2+(a^6-5a^4b^2-5a^2b^4+b^6)^2$ Sin embargo, uno de los pares tiene un factor común.

Respuestas (1)

Encuentre exactamente 333 triples pitagóricos primitivos coincidentes para una hipotenusa dada

¿Cuál es el número de ternas primitivas en cada caso? ¿Cómo se compara esto con el número de factores primos impares distintos de la hipotenusa? ¿Puedes discernir una correlación (no lineal) entre estas dos funciones? Dada esta correlación, ¿puede alguna vez obtener 3? O 5 o 6?
En pruebas separadas, he encontrado $1,2,3,4,5,6, or 7$ se triplica para un valor C dado. Por ejemplo, C=325 produce estos triples, pero solo dos son primitivos. $F (15, 10) = (125, 300, 325) F (17, 6) = (253, 204, 325) F (18, 1) = (323, 36, 325)$ $f(15,10)=(125,300,325)\quad f(17,6)=(253,204,325)\quad f(18,1)=(323,36,325)$
¿ Cuántas ternas primitivas en cada caso? Para $325$ dices que son dos Y se considera como $5^2×13$ . Para $125$ obtienes solo uno. que tiene solo el factor primo $5$ . si probaste $1105=5×13×17$ Apuesto la casa a que tienes cuatro triples primitivos. Y para $32045=5×13×17×29$ "Sospecho" que obtendrás... ocho.
Puedo encontrar otros que $3$ triplica pero no $3$ . Por ejemplo, puedo encontrar exactamente $4$ primitivas para cada uno de estos valores C. Estoy buscando $3$ y no mas que $3$ . $1105, 1885, 2405, 2465, 2665, 3145, 3445, 3485, 3965, 4505, 5185, 5365, 5785, 5945, 6205, 6305\\ 6409, 6565, 7085, 7345, 7565, 7585, 7685, 8177, 8245, 8585, 8845, 8905, 9061, 9565, 9605, 9685\\ 9805, 10205, 10585, 10865, 11245, 11285, 11645, 11713, 11765, 12505, 12545, 12665, 12805, 12905\\ 13345, 13481, 13505, 13949, 14065, 14645, 14705, 14885, 14965, 15145, 15385, 15457, 15665, 15805$
mathoverflow.net/questions/375295/… Mira mi comentario allí.
Si $C=p^3$ dónde $p$ es un primo congruente $1$ modificación $4$ , entonces existe $3$ se triplica con la misma hipotenusa de la siguiente manera. Dejar $p=a^2+b^2$ . $C^2=(6a^5b-20a^3b^3+6ab^5)^2+(a^6-15a^4b^2+15a^2b^4-b^6)^2=(2ab^5+2a^5b+4a^3b^3)^2+(a^6-a^2b^4-b^6+a^4b^2)^2=(-4a^5b+4ab^5)^2+(a^6-5a^4b^2-5a^2b^4+b^6)^2$ Sin embargo, uno de los pares tiene un factor común.

Rafael · Answer 1

Rafael

Mi conjetura es que existen soluciones sólo cuando $C$ está compuesto por $4n+1$ -tipo primos y el número de triples primitivos que tienen $C$ como es la hipotenusa $2^{p-1}$ dónde $p$ es el numero de $4n+1$ -factores de tipo de $C$ .

Los exponentes no cambian el número de triples, es decir $5 \cdot 13^3\cdot 29^2$ tiene el mismo número (cuatro) de ternas primitivas que $5\cdot 13\cdot 17$ .

Óscar Lanzí

Eso no es una conjetura. Es un hecho conocido. Para tener una idea de cómo el poder de

2

$2$ se demuestra, ir a enteros gaussianos y considerar los productos

(2 \pm i)^{2} (3 \pm 2 i)

$(2\pm i)^2(3\pm 2i)$ . Usando todas las combinaciones de

\pm

$\pm$ signos obtienes todas las formas primitivas

a + b i

$a+bi$ dónde

a^{2} + b^{2} = 5^{2} \times 13 = 325

$a^2+b^2=5^2×13=325$ . Tienes

2^{2}

$2^2$ combinaciones de signos pero, dado que los pares conjugados complejos tienen los mismos valores absolutos para

a

$a$ y

b

$b$ , solo la mitad o

2^{1}

$2^1$ son triples distintos. ¿Puedes generalizar?

Rafael

@OscarLanzi Gracias. Y el hecho de que no existan triples si

C

$C$ contiene

4 k + 3

$4k+3$ -como factores?

Óscar Lanzí

¿Puedes encontrar residuos distintos de cero?

mod 3

$\bmod 3$ ¿cuales cuadrados suman cero? Si no puedes, no importan los triples primitivos donde la hipotenusa sea un múltiplo de

3

$3$ , y esto también se puede generalizar.

Óscar Lanzí

Finalmente está el factor primo

2

$2$ . Tenemos

1^{2} + 1^{2} \equiv 0 mod 2

$1^2+1^2≡0\bmod2$ y

1 \pm i | 2

$1±i|2$ en entero gaussiano, pero sin triples primitivos. En la teoría de enteros gaussianos, tienes que elevar al cuadrado el número compkex

a + b i

$a+bi$ para obtener realmente los catetos del triángulo, y hacerlo con

1 \pm i

$1±i$ da una parte real cero que evita un triple primitivo para una hipotenusa par. Está relacionado con el hecho de que el complejo se conjuga

1 \pm i

$1±i$ son cada uno una unidad por el otro, lo cual es cierto si no hay otro par conjugado gaussiano-primo.

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Tomita

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Rafael

Óscar Lanzí

Rafael

Óscar Lanzí

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