[Adapté la pregunta para reflejar lo que aprendí de la respuesta de Alexandre: que Euclides nunca habla de longitudes y áreas, sino solo de segmentos de línea y figuras (como cuadrados). La pregunta en sí permanece sin cambios.]
Para Euclides, las magnitudes eran cosas que se pueden comparar, ser iguales, menores o mayores entre sí, que se pueden sumar y restar, y que pueden tener proporciones. (Junto a estos, había números , otro tipo de cosas con las mismas propiedades).
Hay cuatro magnitudes que Euclides trata explícita y principalmente:
longitudes de segmentos de línea recta
ángulos entre segmentos de línea recta
áreas de figuras planas (polígonos y círculos)
volúmenes de figuras sólidas (poliedros y esferas)
Solo se pueden multiplicar las longitudes de los segmentos de línea recta (dando cifras de áreas y volúmenes ), así como los números (dando números).
También se ocupa de las longitudes de los segmentos circulares, al menos de la longitud de todo el círculo (circunferencia).
Pero, ¿habla explícitamente en alguna parte sobre
la longitud delos segmentos circulares arbitrarios y los compara, suma o resta?
Además: ¿Sabía que un ángulo es "proporcional" a la longitud de un segmento circular correspondiente e hizo uso de esto (lo que no habría significado para él que los dos fueran iguales)?
Las magnitudes podrían compararse y tener proporciones, sumarse o restarse, pero solo a magnitudes similares. Por ejemplo, agregar segmentos significaba concatenarlos aproximadamente (lo mismo con las áreas), no relacionarlos con ningún otro tipo de cosa, como un número, y luego agregarlos. Las longitudes no se podían comparar ni relacionar con áreas, por ejemplo. En cuanto a las longitudes de los segmentos circulares, para Euclides la "circunferencia" se aplica no solo a todo el círculo sino también a los arcos circulares, véase, por ejemplo, Libro VI, Proposición 33 :
" Los ángulos en círculos iguales tienen la misma razón que las circunferencias sobre las que se encuentran, ya sea que se encuentren en los centros o en las circunferencias " .
Si las circunferencias podrían relacionarse con segmentos de línea, el problema de la rectificación es similar al problema de la cuadratura, relacionando áreas curvas con áreas rectilíneas, y solo se puede hacer usando lo que ahora se llama "método de agotamiento". Euclides no toma esto en los Elementos, que las circunferencias son como sus diámetros es suficiente para sus propósitos.
Al contrario de lo que dices, Euclides nunca asigna ningún número a las figuras geométricas. Nunca habla de "longitud" o "medida de ángulo" (no usa grados). Es más difícil con áreas y volúmenes, que Euclides realmente compara pero sin asignarles ningún número. Desde el punto de vista de Euclides, dos polígonos tienen la misma área si uno puede dividirse en partes y luego estas partes pueden reorganizarse para formar el otro polígono. Esto ahora funciona con un círculo o politopos tridimensionales, pero el área del círculo y el volumen de un politopo nunca se definen realmente en Euclid.
Todas estas cosas están muy bien explicadas en el libro de R. Hartshorne, Companion to Euclid, que a mi juicio es la mejor exposición de Euclides desde el punto de vista moderno.
Hans Peter Stricker