Irracionalidad de la raíz cuadrada de 2

No estoy de acuerdo en algunos detalles de la interpretación sobre el descubrimiento de la irracionalidad de$\sqrt{2}$como una refutación de la

Los pitagóricos [...] creían que todos los números podían construirse como la proporción de 2 números.

Mi entendimiento es que todas las matemáticas griegas "arcaicas" compartían la suposición (implícita) de que, dadas dos magnitudes, por ejemplo, dos segmentos de longitud$a,b$, siempre es posible encontrar un segmento de "longitud unitaria"$u$tal que mide ambos, es decir, tal que [usando fórmulas algebraicas modernas que son totalmente ajenas a las matemáticas griegas]:

Del ejemplo anterior de la suposición, se sigue que:

La suposición equivale a decir que la razón entre dos magnitudes es siempre una razón entre números enteros (es decir, en términos modernos: un número racional ).

Pero tenga en cuenta que para las matemáticas griegas los únicos números son los naturales y deben distinguirse de las magnitudes : un segmento, un cuadrado, ... que son "medidos por" números.

Para los antiguos griegos no existen los números racionales; pero sólo magnitudes medibles con múltiplos de una unidad adecuada.

El descubrimiento de la existencia de magnitudes irracionales, mediante la prueba de que el caso en que$a$es el lado del cuadrado y$b$su diagonal no es expresable como una relación entre números (naturales), lleva a las matemáticas griegas a la retirada de la suposición (implícita) anterior, que podemos llamar: "suposición de conmensurabilidad" y a la axiomatización de la geometría, es decir, el esfuerzo sistemático para explícitamente enumera todas las suposiciones necesarias.

Según este enlace , cuenta la leyenda que Hippasus descubrió por primera vez la irracionalidad de$\sqrt{2}$. El segundo enlace, de hecho, menciona una leyenda que sostenía que los partidarios de Pitágoras asesinaron a Hippasus, quien supuestamente descubrió la irracionalidad de$\sqrt{2}$en un bote en medio del mar, arrojándolo por la borda inmediatamente después de informarles de su descubrimiento.

Los pitagóricos tenían la creencia de que todos los números podían construirse como la razón de 2 números. (Que eran racionales) Entonces, básicamente, fue un gran problema porque iba en contra del conocimiento. Todo su trabajo se basó en la premisa de que los números racionales son todos los números.

Cualquier nueva evidencia que anule por completo una verdad fundamental a menudo ha sido recibida con burla. Incluso en tiempos (relativamente) modernos, los números imaginarios se consideraban "ficticios o inútiles, como lo fueron alguna vez el cero y los números negativos".

Estas leyendas existen y lo han sido durante mucho tiempo. Pero pocos o ningún historiador especialista en el tema creen que los pitagóricos descubrieron la irracionalidad de$\sqrt{2}$. Ver:

Pitágoras vs. la idea de Pitágoras

Es muy difícil juzgar las matemáticas griegas antes de Euclides, y mucho menos antes de Platón, ya que hay muy poca evidencia. El estudio individual más leído hoy en día es probablemente Matemáticas de la Academia de Platón de DH Fowler , y por lo que vale, creo que puede tener razón. En resumen, argumenta que la inconmensurabilidad era un tema bien conocido que los matemáticos griegos manejaban fácilmente hasta donde nuestra evidencia nos puede llevar.

El hecho de que$\sqrt{2}$existió y es irracional fue un duro golpe para los antiguos griegos que sólo creían en los números que podían calcular con cierto grado de precisión cuando se requería. O en otras palabras, estaban familiarizados con los números racionales. El hecho de que existieran otros números habría provocado el mismo tipo de sentimientos en ellos cuando nos encontramos por primera vez con temas como la contabilidad y la incontabilidad y la hipótesis del continuo en la teoría de conjuntos. Al principio puede parecer una especie de argumento circular e incorrecto, pero con el tiempo nos acostumbramos. Y tal vez también lo hicieron los griegos.

En lo que respecta a la practicidad, no habría sido muy práctico para ellos, ya que no habrían podido medir estos nuevos números con el grado de precisión que también se usaron. Pero el punto central de la recopilación de conocimiento no es dónde poner ese conocimiento en uso, sino por qué debería existir ese conocimiento en primer lugar.