¿Por qué Euclides definió "una unidad" en lugar de "la unidad"?

De nuevo, el problema es que el marco moderno de los conceptos matemáticos era completamente diferente al de la antigua Grecia. Hoy en día, los objetos y las entidades matemáticas se consideran abstractos, para los griegos eran mucho más concretos. La idea abstracta de una sola unidad ni siquiera surgió en su contexto y, por lo tanto, no había nada de lo que hacer "copias". Hay una unidad para cada tipo de cosa, "¿ Cuántos pares de calcetines?" tiene una respuesta diferente de '¿cuántos calcetines?' ", como dice Stein, pero se abstraen de lo que ya está allí, no se copian de una sola plantilla. En términos modernos, es mejor pensar en las unidades griegas como elementos fijos de un conjunto concreto predeterminado que como abstracciones universales que los "cuentan".

Incluso la noción actual de "abstracción" en sí misma es mucho más abstracta (juego de palabras) de lo que era para los griegos. Para Aristóteles, Euclides y otros, significaba una atención selectiva a las cosas concretas, e incluso las formas de Platón eran formas de cosas concretas con poderes causales. No desencarnados fantasmas causalmente inertes, como los números modernos o las clases de equivalencia, al servicio de los matemáticos a golpe de definición. Se podría decir que las unidades griegas son individuos sobre los que la mente realizó algún trabajo de atención selectiva (sin tener en cuenta la textura y el color, por ejemplo). Es por la misma razón que tampoco tenía sentido la idea de asignar números (multitudes de unidades) a líneas o figuras. Aquí hay algunos extractos de Eudoxos y Dedekind de Stein que analizan las diferencias en detalle:

"Según Aristóteles, los objetos estudiados por las matemáticas no tienen una existencia independiente, sino que se separan en el pensamiento del sustrato en el que existen y se tratan como separables, es decir, son "abstraídos" por el matemático. En particular, los atributos o predicados numéricos (que responden a la pregunta '¿cuántos?') tienen por "sustrato" multitudes con una unidad designada. ¿Cuántos pares de calcetines? tiene una respuesta diferente de '¿cuántos calcetines?'. (Cf. Metaph. XIV i 1088a5ff.: "Uno quiere decir que es una medida de una multitud, y número que es una multitud medida y una multitud de medidas".)... Hay quizás alguna ambigüedad en el pasaje citado : la declaración, "Número significa que es una multitud medida", podría tomarse para identificar números con conjuntos finitos, o implicar que los números de sujetos de los que se predican son conjuntos finitos. La definición de Euclides - "un número es una multitud compuesta de unidades" - apunta a la lectura anterior (lo que implica, por ejemplo, que hay muchos dos, siendo uno de ellos un cuchillo y un tenedor en particular).

[...]Y, de hecho, uno encuentra, en la aritmética y la geometría de Euclides, que la "igualdad" nunca se predica de números, longitudes, áreas, volúmenes o ángulos: proporciones, por ejemplo, de dos áreas por un lado, dos longitudes por el otro, son (en circunstancias apropiadas) se dice que es "lo mismo", pero nunca "igual"; por otro lado, se dice que las áreas de dos figuras son "iguales", pero nunca "iguales" (de hecho, la mayoría de las veces se dice simplemente que "las dos figuras son iguales"; esa área es del tipo de magnitud apropiado se da por entendido). Esta diferencia es bastante ajena a nuestra forma actual de pensar sobre tales asuntos: para nosotros, decir que dos triángulos distintos tienen el mismo área es decir que tienen "la misma área". Pero en la lectura sugerida de la terminología griega,es un área, es decir, una superficie finita; esta área significa esta figura , y los dos triángulos distintos son dos áreas diferentes, pero iguales.

[...] Así, podemos decir que cada especie de cantidad (ya sea discreta o continua) se distingue en las matemáticas griegas por su propia relación de equivalencia, llamada en cada caso simplemente "igualdad"; y que donde nuestra propia práctica es proceder a las correspondientes clases de equivalencia, considerándolas como particulares (números, longitudes, etc.), los griegos, en principio, no hicieron esta abstracción. "