¿Qué cambios en las matemáticas resultaron en el cambio de la definición de números primos y la exclusión de 1?

En cuanto a la primacía de$1$, nada realmente evolucionó. Esta es una ilustración de que algunas cosas en matemáticas no son correctas o incorrectas, son solo una cuestión de gusto. Y una fracción de la población prefiere una definición que no haga una excepción explícita para$1$. El cambio de terminología primo/irreducible, por otro lado, refleja cambios en las matemáticas, a saber, la exploración de anillos de números sin factorización única en el siglo XIX, primero por Kummer y luego por Dedekind.

Caldwell et al. en La historia de la primalidad de uno recopiló citas de fuentes sobre$1$siendo primo (y un número) desde Platón hasta 2012, y muestran que el desorden en este tema se remonta a la antigüedad. Mientras que Platón y Aristóteles ni siquiera consideraron$1$para ser un número, y mucho menos primo, el sobrino y sucesor de Platón, Espeusipo, lo consideró ambos, aunque él era único en este sentido en ese momento. A lo largo de los siglos consiguió compañía (Waring, Gregory, Legendre, etc.), pero$1$-is-a-prime siempre ha estado en minoría. Hardy fue su último representante destacado, pero algunos libros de texto cuentan$1$entre números primos hasta 2012. En ¿ Por qué el 1 no es un número primo? Evelyn Lamb especula que la exclusión de$1$se debe al deseo de tener unicidad en el teorema de descomposición en factores primos y, por lo tanto, separar los números primos de las unidades. Pero incluso si esto es un factor ahora, la exclusión generalizada es muy anterior a la formulación del teorema de Gauss y los tiempos en que la gente prestaba atención a tales abstracciones.

Pero la factorización única desempeñó un papel directo en el cambio de definición en la teoría de anillos. En Historia de los términos "primos" e "irreducibles" en Teoría de anillos en matemáticas SE @mweiss especuló que el cambio se produjo debido a que primero se reprodujo la definición tradicional de números primos (enteros) en el nivel de ideales y luego se descendió al nivel de elementos Esto lleva a la convención moderna en la teoría de anillos que convierte el lema de Euclides en la definición de primo citada en el OP.

Tan clara como es esta teoría, no es cómo sucedió. El cambio se puede rastrear hasta Sur la théorie des nombres entiers algébriques (1877) de Dedekind , y Dedekind lo hace antes de introducir ideales, al considerar la divisibilidad en el ring.$\mathbb{Z}(\sqrt{-5})$señalado por Kummer. Además, Dedekind deja claro que considera el lema de Euclides, y no la definición tradicional, como la propiedad "característica" de los números primos, porque es lo que da la factorización única. En consecuencia, rebautiza lo que la definición tradicional define como " irréductible ", "irreductible".

Una buena exposición del trabajo de Dedekind de 1877, con traducción al inglés de extensos extractos y comentarios, es Richard Dedekind and the Creation of an Ideal: Early Developments in Ring Theory de Barnett . Aquí hay algunas citas de Dedekind en la traducción de Barnett (traduce " irréductible " como "indescomponible"):

" Cada número positivo, distinto de la unidad, es o un número primo, es decir, un número divisible sólo por sí mismo y la unidad, o bien un número compuesto. En este último caso siempre podemos expresarlo como un producto de números primos y - - que es lo más importante - de una sola manera. Es decir, el sistema de números primos que aparecen como factores en este producto está completamente determinado dando el número de veces que un número primo designado aparece como factor. Esta propiedad depende esencialmente de el teorema de que un primo divide un producto de dos factores solo cuando divide uno de los factores.

[...] Un número (diferente de cero y$\pm1$) se llama descomponible cuando es el producto de dos factores, ninguno de los cuales es una unidad. En caso contrario el número se llama indescomponible... Sin embargo, a pesar de la indescomponibilidad de estos quince números, existen numerosas relaciones entre sus productos... En cada una de estas diez relaciones, el mismo número se representa de dos o tres formas diferentes como producto de números indescomponibles. Así se ve que un número indescomponible puede muy bien dividir un producto sin dividir ninguno de sus factores. Por tanto, tal número indescomponible no posee la propiedad que, en la teoría de los números racionales, es característica de un número primo. "