¿Qué contribuyó La naturaleza y el significado de los números de Dedekind a la fundación de la teoría de conjuntos?

Ver Contribuciones de Dedekind a los Fundamentos de las Matemáticas .

Dejando de lado el tema de la "prioridad" (que no son interesantes), podemos decir en pocas palabras que la contribución de Dedekind fue fundamental para apoyar el desarrollo temprano de la teoría de conjuntos :

En el contexto de su trabajo sobre teoría algebraica de números [1871], Richard Dedekind introdujo un punto de vista esencialmente teórico de conjuntos, definiendo campos e ideales de números algebraicos. Estas ideas fueron presentadas en una forma muy madura, haciendo uso de operaciones de conjuntos y de mapeos que conservan la estructura [Cantor empleó la terminología de Dedekind para las operaciones en su propio trabajo sobre la teoría de conjuntos alrededor de 1880].

[En 1872] Dedekind publicó un artículo en el que proporcionaba un análisis axiomático de la estructura del conjunto$\mathbb R$de números reales. Lo definió como un campo ordenado que también es completo ; la completud en ese sentido tiene como consecuencia el axioma de Arquímedes . Cantor también proporcionó una definición de$\mathbb R$en 1872, empleando secuencias de Cauchy de números racionales, que era una elegante simplificación de la definición ofrecida por Karl Weierstrass en sus conferencias.

Las definiciones de Cantor y Dedekind de los números reales se basaron implícitamente en la teoría de conjuntos y, en retrospectiva, se puede ver que implican la suposición de un principio de conjunto de potencia. Ambos tomaron como dado el conjunto de los números racionales, y para la definición de$\mathbb R$se basaron en una cierta totalidad de conjuntos infinitos de números racionales (ya sea secuencias o cortes de Dedekind ).

Pero mientras que la obra de Cantor estuvo (principalmente) relacionada con la aritmética transfinita y el problema de la Cardinalidad del continuo , la obra de Dedekind de 1888 dedicada a la teoría de los números naturales ( Was sind und was sollen die Zahlen? ) aplica los conceptos de la teoría de conjuntos a "dilucidar" y desarrollar una pieza muy fundamental de nuestro conocimiento matemático "básico": los números naturales.

Ver :

• Richard Dedekind, Ensayos sobre la teoría de los números (Engl.transl.1901 - Dover reimpresión). Referencia a Cantor (y Weierstrass): Prefacio a la 1.ª edición , página 36 y Prefacio a la 2.ª edición , página 41;

I. SISTEMAS DE ELEMENTOS [página 44] :

1. En lo que sigue entiendo por cosa todo objeto de nuestro pensamiento. Para poder hablar fácilmente de las cosas, las designamos con símbolos, por ejemplo, con letras, y nos aventuramos a hablar brevemente de la cosa.$a$o de$a$simplemente, cuando nos referimos a la cosa denotada por$a$y para nada la letra$a$sí mismo. Una cosa está completamente determinada por todo lo que se puede afirmar o pensar acerca de ella. Una cosa$a$es lo mismo que$b$(idéntica a$b$), y$b$lo mismo que$a$, cuando todo lo que se puede pensar acerca de$a$también se puede pensar acerca de$b$, y cuando todo eso es cierto de$b$también se puede pensar$a$. Eso$a$y$b$son solo símbolos o nombres para una y la misma cosa se indica mediante la notación$a = b$, y también por$b = a$. Si más lejos$b = c$, es decir, si$c$así como$a$es un símbolo para la cosa denotada por$b$, entonces también es$a = c$. Si la anterior coincidencia de la cosa denotada por$a$con la cosa denotada por$b$no existe, entonces son las cosas$a, b$dice que es diferente,$a$es otra cosa que$b$,$b$otra cosa que$a$; hay alguna propiedad que pertenece a uno que no pertenece al otro.

2. Ocurre con mucha frecuencia que cosas diferentes,$a, b, c, \ldots$por alguna razón se pueden considerar desde un punto de vista común, se pueden asociar en la mente, y decimos que forman un sistema $S$; llamamos a las cosas$a, b, c, \ldots$ elementos del sistema$S$, están contenidos en$S$; en cambio,$S$ consta de estos elementos. Tal sistema$S$(un agregado, una multiplicidad, una totalidad) como objeto de nuestro pensamiento es igualmente una cosa; está completamente determinado cuando con respecto a cada cosa se determina si es un elemento de$S$O no. El sistema$S$es por lo tanto lo mismo que el sistema$T$, en símbolos$S = T$, cuando cada elemento de$S$es también elemento de$T$, y cada elemento de$T$es también elemento de$S$.

Podemos encontrar casi palabra por palabra la misma introducción en todos los libros de texto modernos de álgebra o cálculo.