Convergencia uniforme de una sucesión de funciones dadas como producto y convolución.

Supongamos que tenemos, para un conjunto acotado abierto$\Omega \subset \mathbb{R}^n$:

1. Una función$u \in L^p(\mathbb{R}^n) \cap C(\mathbb{R}^n)$.
2. Una secuencia de amoladores$(\rho_n) \subset C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$.
3. Una secuencia de funciones$(\xi_n) \subset C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$con$0 \leq \xi_n(x) \leq 1$definido como: $$\xi_n=\xi(\frac{x}{n})= \left\{\begin{matrix} 1 & if \ |\frac{x}{n}| \leq 1\\ 0 & if \ |\frac{x}{n}| \geq 2 \end{matrix}\right.$$

Para$\xi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$y$0 \leq \xi(x) \leq 1$.

Quiero mostrar que la secuencia$(\rho_n * u)(\xi_n)_{|_\overline{\Omega}}$converge uniformemente a$u_{|_{\overline{\Omega}}}$.

He podido probar estos hechos:

• Usando el Teorema de la Convergencia Dominada vemos claramente que para cualquier$g \in L^p(\Omega)$tenemos$\xi_n g_{|_{\overline{\Omega}}}\to g_{|_{\overline{\Omega}}}$en$L^p(\Omega)$.

  • Usando los resultados básicos de convolución y regularización tenemos que, como$\overline{\Omega}$es compacto y$u \in L^p(\mathbb{R}^n) \cap C(\mathbb{R}^n)$ $\rho_n * u_{|_{\overline{\Omega}}} \to u_{|_{\overline{\Omega}}}$uniformemente

  • Como$\overline{\Omega}$está acotado, supongamos por una bola de radio$M$, también tenemos eso$\xi_n g_{|_{\Omega}} \to g_{|_\Omega}$uniformemente encendido$\overline{\Omega}$, como para$n \geq M$ $\xi_n \equiv 1$en$\overline{\Omega}$.