¿Por qué es válida la Ley de Newton en la mecánica relativista?

Question

¿Por qué es válida la Ley de Newton en la mecánica relativista?

iti

En cinemática relativista, derivamos el momento de un cuerpo como

pag = \frac{{metro}_{0} \vec{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} = γ {metro}_{0} \vec{v}

$p=\frac{m_0\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma m_0\vec v$
Entonces,

\begin{matrix} (1) & \vec{F} = \frac{d \vec{pag}}{d t} \end{matrix}

$\vec F=\frac{d\vec p}{dt}\tag{1}$

⟹ \vec{F} = \frac{d (γ {metro}_{0} \vec{v})}{d t}

$\implies\vec F=\frac{d(\gamma m_0\vec v)}{dt}$

Haciendo la diferenciación obtenemos,

\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{F_{0}}{{metro}_{0} γ} - \frac{(\vec{F} . \vec{v}) \vec{v}}{{metro}_{0} C^{2} γ}

$\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{F_0}{m_0\gamma}-\frac{(\vec F.\vec v)\vec v}{m_0c^2\gamma}$
Encontramos que la aceleración no necesita estar en la dirección de la fuerza externa neta.

Tengo una pregunta sobre por qué la ecuación $(1)$ incluso aguanta. ¿Cómo podemos suponer que $(1)$ sostiene? La expresión de cada cantidad se cambia en la mecánica relativista como el momento, la energía cinética, etc. ¿Por qué no se le multiplica o se le suma algún tipo de factor?

En la mecánica newtoniana $(1)$ es el resultado de la observación cotidiana. También podemos verificar la ley haciendo un experimento en la pista de aire lineal, ya que en ese caso la fricción se reduce mucho, por lo que ayuda en el análisis. $(1)$ claramente.

En la mecánica relativista también, es la Ley de Newton, es decir, la expresión $(1)$ , simplemente la consecuencia de las observaciones solamente o hay algún otro razonamiento para ello también?

Anexo-1
Al derivar la expresión del impulso obtenemos

pag = {metro}_{o} v γ = {metro}_{o} \frac{d X}{d t} \frac{d t}{d τ} = {metro}_{o} \frac{d X}{d τ}

$p=m_ov\gamma=m_o\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau}=m_o\frac{dx}{d\tau}$
dónde

τ

$\tau$ es el intervalo de tiempo adecuado (lapso de tiempo en el marco en el que la partícula parece estar en reposo).
Entonces,

p = m_{o} \frac{d x}{d τ} \neq m_{o} \frac{d x}{d t}

$p=m_o\frac{dx}{d\tau}\neq m_o\frac{dx}{dt}$
En la mecánica newtoniana,

t = τ

$t=\tau$ (existencia de un tiempo universal que fluye independiente de cualquier marco inercial).
¿Por qué asumimos

F = \frac{d p}{d t}

$F=\frac{dp}{dt}$ en mecánica relativista?
Puede ser

F = \frac{d p}{d τ}

$F=\frac{dp}{d\tau}$ también.
También podemos ver que

F = \frac{d p}{d τ}

$F=\frac{dp}{d\tau}$ es algo más fundamental porque se reduce a

F = \frac{d p}{d t}

$F=\frac{dp}{dt}$ en marcos móviles de baja velocidad. Esa es mi duda en realidad.

Anexo-2
He leído todas las respuestas, pero todavía no me queda claro un punto.
La fuerza es una medida de las interacciones que actúa sobre la partícula. En la mecánica newtoniana (es decir, trabajar con una velocidad muy baja en comparación con la luz), la medida de la interacción viene dada por la ley de Newton. $F=\frac{dmv}{dt}$ . No hay distinción entre ningún tipo de tiempo, lo que significa que hay un tiempo universal que fluye independientemente de cualquier marco de referencia, siempre que la velocidad del marco de referencia sea muy baja en comparación con la luz.
Pero mientras trabaja con objetos que se mueven con una velocidad cercana a la velocidad de la luz. Entonces la medida de la interacción neta actuada sobre la partícula es $\frac{dmv\gamma}{dt}$ o $\frac{dmv\gamma}{d\tau}$ dónde $\tau$ Cuál es el intervalo de tiempo adecuado (intervalo de tiempo en el marco del objeto en movimiento)?
En los libros dicen directamente $F=\frac{dmv\gamma}{dt}$ incluso cuando la partícula se mueve con una velocidad muy alta.

Pero si consideramos ambas posibilidades $F=\frac{dmv\gamma}{dt}$ o $\frac{dmv\gamma}{d\tau}$ , entonces ambos se reducen a la ley de Newton en muy baja velocidad como $\tau\to t$ y $\gamma\to 1$ en caso de muy baja velocidad.

Ruslán

¿Por qué

\frac{d p}{d τ}

$\frac{dp}{d\tau}$ ser mas util?

τ

$\tau$ es el tiempo propio, el tiempo medido por un reloj comóvil, mientras que

p

$p$ es el momento medido desde el punto de vista de un observador externo (en el marco commóvil,

p \equiv 0

$p\equiv0$ ). ¿Por qué crees que es más fundamental que

\frac{d p}{d t}

$\frac{dp}{dt}$ donde ambos

p

$p$ y

t

$t$ ¿Las cantidades son medidas por un observador externo?

tobi_s

Con respecto a su apéndice: define la fuerza de la manera que sea conveniente, y cuando está haciendo mecánica relativista, la forma que usa el tiempo adecuado es la más útil, ya que la fuerza definida de esta manera es un vector de cuatro y, por lo tanto, las leyes que lo rigen siguen siendo las mismas en todos los marcos inerciales (son "covariantes"), por ejemplo, la ley de fuerza de Lorentz es simplemente

\frac{d p^{α}}{d τ} = q F^{α β} \frac{d x_{β}}{d τ}

$\frac{\mathrm{d} p^\alpha}{\mathrm{d} \tau} = q F^{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d}x_\beta}{\mathrm{d}\tau}$ y esto se mantiene en todos los marcos inerciales.

iti

@Ruslan, creo

p = \frac{d p}{d τ}

$p=\frac{dp}{d\tau}$ es más fundamental porque si tomamos lo anterior como una definición de impulso, entonces a velocidades muy bajas

τ \to t

$\tau\to t$ de este modo

m_{o} \frac{d x}{d τ} \to m_{o} \frac{d x}{d t}

$m_o\frac{dx}{d\tau}\to m_o\frac{dx}{dt}$ que es la definición de cantidad de movimiento en la mecánica newtoniana.

eli

"haciendo la diferenciación obtenemos" ¿qué pasa con este término

γ = γ (\vec{v})

$\gamma=\gamma(\vec v)$ ?

iti

@Eli, El resultado final ha contenido el término de diferenciación de

γ (v)

$\gamma (v)$ . Pero no he mostrado el cálculo explícitamente.

Andrés Steane

El punto principal es que es una cuestión de definición, pero las definiciones son buenas cuando son útiles, y en este caso tenemos

d p / d t = q (E + v \times B)

$d{\bf p}/dt = q ( {\bf E} + {\bf v} \times {\bf B} )$ para fuerzas electromagnéticas; ver ans por knzhou.

Respuestas (6)

¿Por qué es válida la Ley de Newton en la mecánica relativista?

¿Por qué $\frac{dp}{d\tau}$ ser mas util? $\tau$ es el tiempo propio, el tiempo medido por un reloj comóvil, mientras que $p$ es el momento medido desde el punto de vista de un observador externo (en el marco commóvil, $p\equiv0$ ). ¿Por qué crees que es más fundamental que $\frac{dp}{dt}$ donde ambos $p$ y $t$ ¿Las cantidades son medidas por un observador externo?
Con respecto a su apéndice: define la fuerza de la manera que sea conveniente, y cuando está haciendo mecánica relativista, la forma que usa el tiempo adecuado es la más útil, ya que la fuerza definida de esta manera es un vector de cuatro y, por lo tanto, las leyes que lo rigen siguen siendo las mismas en todos los marcos inerciales (son "covariantes"), por ejemplo, la ley de fuerza de Lorentz es simplemente $\frac{\mathrm{d} p^\alpha}{\mathrm{d} \tau} = q F^{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d}x_\beta}{\mathrm{d}\tau}$ y esto se mantiene en todos los marcos inerciales.
@Ruslan, creo $p=\frac{dp}{d\tau}$ es más fundamental porque si tomamos lo anterior como una definición de impulso, entonces a velocidades muy bajas $\tau\to t$ de este modo $m_o\frac{dx}{d\tau}\to m_o\frac{dx}{dt}$ que es la definición de cantidad de movimiento en la mecánica newtoniana.
"haciendo la diferenciación obtenemos" ¿qué pasa con este término $\gamma=\gamma(\vec v)$ ?
@Eli, El resultado final ha contenido el término de diferenciación de $\gamma (v)$ . Pero no he mostrado el cálculo explícitamente.
El punto principal es que es una cuestión de definición, pero las definiciones son buenas cuando son útiles, y en este caso tenemos $d{\bf p}/dt = q ( {\bf E} + {\bf v} \times {\bf B} )$ para fuerzas electromagnéticas; ver ans por knzhou.

Rodney Dunning · Answer 1

$F = \frac{d\vec{p}}{dt}$ , dónde $p = \gamma m \vec{u}$ , es una cantidad definida en SR. La justificación teórica es que $\gamma m \vec{u}$ se conserva en colisiones y aproximaciones $m \vec{u}$ en el límite de baja velocidad. (La justificación para definir el impulso como $\sum m \vec{u}$ en la física newtoniana es que esta cantidad se conserva si ninguna fuerza externa actúa sobre el sistema. Queremos identificar una cantidad conversada de manera similar en SR.) La otra justificación es que concuerda con los resultados experimentales.

La cantidad $\gamma m {\bf u}$ es de hecho la cantidad conservada y esto se puede verificar experimentalmente. Sin embargo, la ecuación relativa ${\bf F}$ a $d{\bf p}/dt$ es una definición de ${\bf F}$ , y como tal, no se puede demostrar que esté de acuerdo o en desacuerdo con los resultados experimentales.

el_simpatizante · Answer 2

el_simpatizante

La expresion

F := \frac{d pag}{d t}

$\mathbf{F} := \frac{d\mathbf{p}}{dt}$

es la definición de la medida de la fuerza . Lo que ha descubierto es que la declaración

F = metro a

$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$

que se cumple en la mecánica newtoniana, no se cumple en la mecánica relativista (einsteiniana). Estos dos son equivalentes en el contexto newtoniano, pero no equivalentes en el contexto relativista. En cambio, el último es de hecho una "Ley" en el sentido de que no define la fuerza, sino que es una declaración al respecto , mientras que el primero es una definición real, en un contexto teórico. Y esta ley solo se cumple a bajas velocidades donde las mecánicas de Einstein y Newton se aproximan entre sí, y donde usamos los marcos de referencia de Lorentz.

iti

De hecho,

F = m a

$F=ma$ es para masa constante. Si consideramos la masa relativista,

m_{o} γ

$m_o\gamma$ (Sé que la masa relativista es solo una construcción matemática que obtenemos al derivar el impulso). Pero por el momento, si consideramos la masa relativista, vemos que la masa cambia mientras se mueve a altas velocidades. Si en la mecánica newtoniana, resolvemos la ley de Newton para masa y velocidad variables, entonces en

F = d p / d t

$F=dp/dt$ , obtenemos

F = m \frac{d v}{d t} + v \frac{d m}{d t}

$F=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$ . Entonces obtenemos,

\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{\vec{F}}{m} - \frac{\vec{v} d m}{m d t}

$\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{\vec F}{m}-\frac{\vec v dm}{mdt}$ , obteniendo la misma conclusión, la aceleración no necesita estar en la dirección de la fuerza.

Andrés Steane

La relación newtoniana es

F = d p / d t

${\bf F} = d{\rm p}/dt$ . El resultado newtoniano solo toma la forma

F = m a

${\bf F} = m {\bf a}$ en circunstancias especiales, como masa constante.

knzhou · Answer 3

En relatividad, la letra $\mathbf{F}$ se llama las tres fuerzas y se define como $d \mathbf{p}/dt$ . No hay forma de que esto pueda ser "incorrecto", porque es simplemente una definición.

Ahora, usted hace el buen punto de que la cantidad $dp^\mu / d\tau$ , que comúnmente se llama la relativista de cuatro fuerzas y se denota con la letra $f^\mu$ , es "más natural" en ciertos contextos. ¡Pero eso no hace que la definición anterior sea incorrecta! Hay ventajas y desventajas para cada uno.

$\mathbf{F}$ es más fácil de usar si desea seguir la evolución de un objeto en el tiempo en un marco de referencia fijo, porque trata directamente con $t$
$\mathbf{F}$ corresponde directamente a la familiar fuerza newtoniana en el límite no relativista
$f^\mu$ es un cuatro vector, por lo que es fácil de transformar Lorentz, mientras que $\mathbf{F}$ tiene una transformación complicada
$f^\mu$ tiende a aparecer automáticamente en ecuaciones definidas a partir de otras teorías relativistas. Por ejemplo, cuando aprenda electromagnetismo en forma relativista, encontrará $f^\mu = q u^\nu F_{\mu\nu}$ .
$\mathbf{F}$ todavía aparece comúnmente cuando se trabaja en escenarios no relativistas. Por ejemplo, si tomas la ecuación anterior y la descompones en términos de los campos eléctrico y magnético, obtienes $\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ .
$\mathbf{F}$ también obedece a otras identificaciones útiles, como $dE = \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x}$ .

Ambas definiciones se usan comúnmente y ninguna es realmente más "natural". A veces, cuando resuelvo un problema de dinámica, uso ambas definiciones en momentos diferentes, si esa es la ruta más eficiente.

¿Puedes por favor decirme qué es $\mu$ en $dp^{\mu}/d\tau$ ?
Sí, estoy completamente de acuerdo (+1) y, de hecho, también adopto la política establecida en la última oración. Cuando uno ha resuelto la velocidad en función del tiempo propio a lo largo de una línea de tiempo, por ejemplo, ¡aún no sabe cuál es la velocidad en cualquier evento dado! (hasta que uno también encuentre el tiempo adecuado en función de coordenadas o algo así).

eli · Answer 4

Ecuación relativista de movimiento

\begin{aligned} espacio NEWTON \\ (1) & F = \frac{d}{d t} (metro v) \\ espacio MINKOWSKI \\ (2) & \frac{d}{d τ} (metro {tu}^{m}) = k^{m} = [\begin{matrix} k^{0} \\ k^{i} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{NEWTON space}\\\\ &\mathbf F=\frac{d}{dt}\,(m\,\mathbf v)\tag{1}\\\\ &\text{MINKOWSKI space}\\\\ &\frac{d}{d\tau}\left(m\,u^\mu\right)=K^\mu= \begin{bmatrix} K^0 \\ K^i \\ \end{bmatrix}\tag{2} \end{align*}$ Las MOE deben cumplir con dos requisitos

la fuerza $~\mathbf K~$ debe ser escalar de Lorentz $~(K'^\mu\,K'_\mu=K^\mu\,K_\mu)~$ y
para $~v\ll c$ se obtienen los NEWTON EOM's con: $\begin{aligned} \frac{d}{d τ} = \frac{d}{d t} γ \\ {tu}^{m} = [\begin{matrix} C \\ v \end{matrix}] \\ k^{0} = \frac{γ v^{T} F}{C}, k^{i} = γ F \\ y \\ γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v \cdot v}{C^{2}}}} \end{aligned}$ $\begin{align*} &\frac{d}{d\tau}=\frac{d}{dt}\,\gamma\\ &u^\mu=\begin{bmatrix} c \\ \mathbf{v} \\ \end{bmatrix}\\ &K^0=\frac{\gamma\,\mathbf{v}^T\,\mathbf{F}}{c}\quad, K^i= \gamma\,\mathbf{F}\\ &\text{and}\\ &\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}{c^2}}} \end{align*}$

obtienes la ecuación relativista del movimiento:

con $\mathbf{v}=[v,0,0]^T~$ y $\mathbf{F}=[F,0,0]^T$

\frac{d v}{d t} = \frac{F}{metro} (1 - \frac{v^{2}}{C^{2}})

$\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{F}{m}\,\left( 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)$

de este modo $~v\ll c$ obtienes la ecuación de movimiento de NEWTON y puedes comprobar que $~(K'^\mu\,K'_\mu=K^\mu\,K_\mu)=-F^2~$ Escalar de Lorenz

\begin{aligned} \frac{d}{d τ} (metro {tu}^{m}) = \frac{d}{d t} (\frac{d t}{d τ} metro {tu}^{m}) = \frac{d}{d t} (γ metro {tu}^{m}) = \frac{d}{d t} ([\begin{matrix} γ metro C \\ γ metro v \end{matrix}]) = [\begin{matrix} k^{0} \\ k^{i} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{d}{d\tau}(m\,u^\mu)=\frac{d}{dt}(\frac{dt}{d\tau}\,m\,u^\mu)=\frac{d}{dt}(\gamma\,m\,u^\mu)=\frac{d}{dt}\left(\begin{bmatrix} \gamma\,m\,c\, \\ \gamma\,m\,\mathbf v\\ \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} K^0\\ K^i\\ \end{bmatrix} \end{align*}$

La respuesta es algo matemáticamente pesada para mí. He leído tu respuesta varias veces. Entonces básicamente estás diciendo que en mecánica relativista, $\frac{d}{d\tau}mu\gamma$ es básicamente la ley de Newton en la mecánica relativista que se reduce a la ley de Newton en la mecánica newtoniana
@iri lo siento, en el espacio relativista tienes cuatro coordenadas $t, x,y,z$ lo usa si la velocidad de movimiento se acerca a la velocidad de la luz c, pero la ecuación relativista de movimiento debe reducirse en el límite a la ley de Newton
gracias por la respuesta. En mecánica newtoniana si calculamos $\frac{dmv}{dt}$ , entonces conocemos la magnitud y direcciones de las interacciones actuadas sobre el cuerpo. En mecánica relativista, es $\frac{dmv\gamma}{dt}$ o $\frac{dmv\gamma}{d\tau}$ nos dice acerca de la magnitud y direcciones de las interacciones que actúa en la partícula.
si resuelves las ecuaciones diferenciales obtienes la solución $~v(t)~$ de acuerdo con la teoría, la velocidad de la partícula no puede exceder la velocidad de la luz c, es por eso que necesita el factor gamma en la ecuación relativista, en la mecánica newtoniana la velocidad de la partícula puede exceder la velocidad de la luz.
si tienes razon necesitamos $\gamma$ para asegurarse de que la velocidad de la luz no exceda en la mecánica relativista. Pero la pregunta es si las interacciones que actúan sobre las partículas son $\frac{dmv\gamma}{dt}$ o $\frac{dmv\gamma}{d\tau}$ ? Estoy muy confundido.
la ecuacion es $~\frac{d}{dt}\left(m\,\gamma\,v\right)=\gamma\,F~\Rightarrow$ ${\frac {d}{dt}}v \left( t \right) -{\frac {F}{m}}+{\frac {F \left( v \left( t \right) \right) ^{2}}{m{c}^{2}}}=0~$ para c=1 y F= constante, se obtiene la solución $~v(t)=\tanh\left(\frac{F\,t}{m}\right)$ y la solución de Newton es $v(t)=\frac{F\,t}{m}$

Señor O · Answer 5

Señor O

Esto es como preguntar "¿por qué una regla de un metro sigue siendo un metro en SR?"

Bueno, es un metro porque lo definimos de esa manera. Y siempre será exactamente un metro en su propio marco de referencia, por definición.

Asimismo, la fuerza es la transferencia de cantidad de movimiento entre dos objetos. El vector de fuerza 3 no es un invariante de Lorentz y no aparece igual en todos los marcos de referencia.

Puede ser engañoso ver $F = \frac{d\vec{p}}{dt}$ sigo aplicando y pensando "oh, eso es lo mismo que no SR Force, así que es lo mismo". Pero eso no es cierto - $\vec{p}$ cambia con SR, por lo que es solo la misma ecuación que la mecánica netwoniana en su propio marco de referencia, y sabemos que las leyes de Newton aún se aplican cuando están en su propio marco. Esperar que esta expresión también cambie al agregar un factor de $\gamma$ o algo sería tener tu pastel y comértelo también.

j murray

Estoy un poco confundido por la frase "sabemos que las leyes de Newton aún se aplican en un marco inercial". En un marco de referencia inercial genérico, hay factores de

γ

$\gamma$ por todo el lugar. ¿Estás definiendo las "Leyes de Newton" como la colección de símbolos

\vec{F} = d \vec{p} / d t

$\vec F = d\vec p/dt$ dónde

\vec{F}

$\vec F$ y

\vec{p}

$\vec p$ Cuáles son las generalizaciones relativistas adecuadas de los conceptos newtonianos de fuerza y cantidad de movimiento?

Señor O

Las leyes de Newton se desarrollaron en un marco de referencia inercial. Si nunca está cambiando marcos, no debería haber factores de

γ

$\gamma$ en cualquier lugar, y mucho menos en todo el lugar. Toda la física SR se reduce a las leyes de Newton en un marco inercial.

j murray

Odio ser el portador de malas noticias, pero eso es absolutamente incorrecto. ¿Alguna vez has estudiado dinámica relativista?

Señor O

@ J.Murray lol, ¿puede darme un ejemplo de "dinámica relativista" en un marco de referencia inercial?

j murray

um... ¿observar la aceleración de un electrón en un fuerte campo eléctrico? ¿Estás argumentando en serio que

F = m a

$F=ma$ es relativistamente correcto en un marco de referencia inercial?

Señor O

@J.Murray No, ya veo lo que estás diciendo. Estaba usando mal el término marco inercial como sustituto de su propio marco, es decir, que F = ma se aplicaría en el marco del electrón en su escenario

iti

Entonces, básicamente, la definición de cantidades básicas sigue siendo la misma tanto en la mecánica newtoniana como en la relativista. Como en la mecánica relativista derivamos la expresión de la energía cinética usando

Δ K = \int \vec{F} . \vec{d r}

$\Delta K=\int\vec F.\vec{dr}$ (teorema de la energía del trabajo en la mecánica newtoniana)?

iti

Al derivar la expresión del impulso obtenemos

p = m_{o} v γ = m_{o} \frac{d y}{d t} \frac{d t}{d τ} = m_{o} \frac{d y}{d τ}

$p=m_ov\gamma=m_o\frac{dy}{dt}\frac{dt}{d\tau}=m_o\frac{dy}{d\tau}$ dónde

τ

$\tau$ es el intervalo de tiempo adecuado (lapso de tiempo en el marco en el que la partícula parece estar en reposo). Básicamente la expresión de

p

$p$ aunque cambia

t = τ

$t=\tau$ en la mecánica newtoniana. La pregunta es por qué

F \neq \frac{d p}{d τ}

$F\neq\frac{dp}{d\tau}$ ?

Señor O

@Iti porque la fuerza es un 3 vector no relativista y no invariante bajo las transformaciones de lorentz.

\frac{d p}{d τ}

$\frac{dp}{d \tau}$ Sin embargo, es algo real: es Minkowski 4-force e IS invariante bajo transformaciones de lorentz.

iti

@Señor, ¿puede ver los anexos en mi pregunta?

mis2cts · Answer 6

La fuerza es, por definición, un cambio de cantidad de movimiento, al igual que la potencia es un cambio de energía. El enunciado de conservación de energía-momento $\partial _\mu T^{\mu\nu}=0$ es la declaración teórica del campo SR de la fuerza y el poder que se desvanecen.

¿Por qué es válida la Ley de Newton en la mecánica relativista?

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