¿Por qué la energía cinética es solo "a menudo (1/2) mv2 (1/2) mv2 (1/2) mv ^ 2"?

La definición de partículas puntuales es:

$T = \frac{p^2}{2m}$, dónde$T$denota mi energía cinética.

1. Si se trata de física clásica , el momento de una partícula puntual es igual a$\vec{p} = m\vec{v}$, que te daría$T = \frac{mv^2}{2}$.
2. En la teoría de la relatividad especial notamos que los objetos se vuelven más pesados ​​cuando se mueven, el momento se convierte en:$\vec{p} = {m\vec{v}\gamma}$, dónde$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$. Por lo tanto, la energía cinética se convierte en:$T={mc^2\gamma}$, esto se deriva a continuación.
3. Si intenta hacer un Lagrangiano electromagnético no relativista , no es posible incorporar el campo magnético en términos de energía potencial. Entonces la solución es definir el impulso igual a$\vec{p} = m\vec{v}-\frac{q\vec{A}}{c}$, donde A es el potencial vectorial tal que$\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$. Esto daría una energía cinética (o término cinético en su hamiltoniano) igual a:$T = \frac{(m\vec{v}-\frac{q\vec{A}}{c})^2}{2m}$. Uno suele llamar$m\vec{v}$el momento cinemático y$\vec{p}$el momento canónico (ya que este es el momento que se deriva de un Lagrangiano). Son los momentos canónicos los que se denominan "thé momenta".
4. Y por último, pero no menos importante, en la mecánica cuántica trabajas en un tipo diferente de estructura matemática (en el espacio de Hilbert en lugar del espacio de fase clásico). Por equivalencia con la teoría ondulatoria, el momento se deriva como$\hat{p} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$, donde tenemos un operador$\hat{p}$que funciona en ese Hilbertspace.

Nota: de dj_mummy

Tenga en cuenta que todas las relaciones dadas para la energía cinética suponen que la partícula estaba originalmente en reposo en un momento dado.$t=t_0$. La energía cinética se obtiene utilizando el teorema del trabajo y la energía (diferencia de energía cinética = trabajo realizado sobre la partícula puntual). Usando las leyes de la física clásica (segunda ley de Newton) obtenemos:

$T = \int\limits_{x_0}^{x_1}\vec{F}\cdot d\vec{x} = \int\limits_{t_0}^{t_1}\vec{F}\cdot \vec{v}\,dt = \int\limits_{t_0}^{t_1}\left(m\frac{d\vec{v}}{dt}\right)\cdot \vec{v}\,dt= m\int\limits_{t_0}^{t_1} \vec{v}\cdot d\vec{v} = \frac{m}{2}v^2$. Dónde$\vec{v}$es la velocidad en el tiempo$t_1$.

¡Esto nos da la energía cinética en el caso de la física clásica! Para la partícula relativista definimos un 4-momentum$p^\alpha = m\frac{du^\alpha}{d\tau}$. Dónde$u^\alpha$es la velocidad de cuatro y$\tau$es el momento adecuado. ¡La derivación se hace realmente aquí y obtenemos la fórmula anterior!