La definición de fuerza independiente del movimiento

La pregunta es, ¿a qué te refieres con "fuerza"? :)
Quiero decir, lo que te confunde es probablemente:

¿Por qué llamamos

Este es un buen pensamiento. Pero, afortunadamente, Newton no tiene sólo este axioma, sino dos (el "primero" histórico es un caso especial de$F=ma$, pero hay un tercero), que están conectados.

Así que lo diría así: si dos cuerpos interactúan, lo llamamos "ejercer una fuerza el uno sobre el otro". El resultado es algún cambio en el movimiento (no cuestionaré aquí los conceptos de espacio y tiempo, que son necesarios para tal afirmación). Y ahora viene la ley (es decir, algún enunciado no trivial derivado de un experimento):
La relación de las aceleraciones de los dos cuerpos es siempre la misma, e independiente del tipo especial de interacción.
Y más que eso: esta relación es "transitiva", en el sentido de que la relación entre los cuerpos A y C es el producto de las relaciones entre A y B y B y C. Este paso no es evidente, la relación podría también han sido una propiedad de la pareja de cuerpos. Pero esta transitividad nos permite asignar una propiedad a cadacuerpo, que llamamos "masa" .
¿Ves cómo necesitas tanto la actio=reactio como la aceleración para dar sentido a esos conceptos...?

Bueno, esta masa no tiene significado físico hasta ahora, solo la relación de masas. Simplemente llamamos a una masa elegida arbitrariamente un kg.
Y ahora que sabemos cómo llamar masa, podemos definir una fuerza por$F=ma$. El valor de la fuerza no tiene ningún significado hasta ahora, ya que ya definimos la masa con esta misma ecuación. Llamar a este concepto fuerza adquiere un significado más adelante, si añadimos a esta definición (sobre la acción de la fuerza) algunas fórmulas adicionales sobre la causa de la fuerza, como la ley de Hooke o la ley de la gravitación.

El problema con las velocidades relativistas de su segundo párrafo,

Aprendí que incluso si empujamos alguna partícula 'por una fuerza constante', la aceleración de la partícula disminuiría con el tiempo, en lugar de mantener algún valor.

se resuelve desde este punto de vista. "Fuerza constante" ahora significa que la reacción en el objeto desde el cual se aplica la fuerza es constante. Entonces, esta declaración dice que en circunstancias no clásicas hay desviaciones de la observación mencionada anteriormente, que la relación de aceleraciones depende solo de la propiedad "masa" de los dos objetos involucrados. Pero, afortunadamente, estas desviaciones no ocurren al azar sino sistemáticamente, y el sistema resulta ser: aún podemos conservar todos los conceptos anteriores con la adición de que la masa depende de la velocidad. Todavía es transitivo, por lo que sigue siendo un concepto significativo. Y derivada de ella, la fuerza es significativa...

(En realidad, la fuerza es más difícil de retener como concepto, ya que no siempre es posible decir qué par de objetos está interactuando, también puedes tener interacción con un campo... y entonces quizás sea mejor dejarlo ir y usar diferentes descripciones de la realidad :))

Creo que debemos ser capaces de acomodar una definición de una fuerza sobre alguna partícula que sea independiente del movimiento de la partícula, \emph{para todo tipo de fuerzas}, para verificar con seguridad la afirmación como 'la fuerza sobre una partícula es igual al tiempo derivada del momento de la partícula'. ¿Es eso cierto?

La declaración citada no es la mejor formulación para ser verificada de forma independiente porque asume que la fuerza es algo que se mide en unidades de masa.$\times$aceleración pero eso no es necesario.

Creo que quieres verificar la segunda ley de Newton. Esto dice:

La alteración del movimiento es siempre proporcional a la fuerza motriz impresa; y se hace en la dirección de la línea derecha en la que se imprime esa fuerza.

La ley, aunque formulada de manera poco clara, implica que la fuerza es algo que tiene dirección y magnitud, y es proporcional a su producto, no necesariamente igual a él.

En el lenguaje sencillo actual, dice esto:

La aceleración de un cuerpo que no pierde ni gana partes es proporcional a la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo debido a otros cuerpos.

Es difícil dar una definición exacta de fuerza externa en la declaración anterior, porque hay muchos tipos diferentes de fuerzas; hay fuerza de gravedad, fuerza eléctrica, fuerza magnética, fuerza mecánica de contacto, fuerza elástica, fuerza de tensión superficial, etc., siendo cada una diferente en sus manifestaciones. Todos ellos, sin embargo, tienen algo en común; a menudo están presentes incluso si el cuerpo sobre el que actúan no acelera.

Por ejemplo, si colocamos un resorte sobre su base circular en el suelo, permanecerá allí en reposo, pero la fuerza de gravedad que actúa sobre él no deja de existir solo porque no hay aceleración. Todavía está allí, solo contrarrestado por la fuerza normal de contacto debido al suelo. Este resorte y en general, cualquier cuerpo se deforma cuando está bajo la acción de una fuerza en reposo. Podemos medir esta deformación y determinar esta fuerza en unidades de deformación.

La definición${\bf F} = \frac{d{\bf p}}{dt}$es válido en todos los marcos inerciales (asumiendo que no se considera la relatividad). Si tiene otro marco inercial, puede reemplazarlo${\bf v}\to {\bf v' = {\bf v} + {\bf v}_0}$, de modo que${\bf p} = m {\bf v}\to {\bf p' = {\bf p} + {\bf p}_0}$y desde${\bf v}_0$es constante, tiene$\frac{d{\bf p'}}{dt} = \frac{d{\bf p'}}{dt}$.