¿Cómo se corresponde la segunda ley de Newton con GR en el límite del campo débil?

La teoría gravitacional de Newton es un límite de campo débil y baja velocidad de la relatividad general, pero el mapa preciso entre ecuaciones y límites es diferente de lo que piensas.

En la relatividad general, se deben usar tanto las ecuaciones de Einstein como la condición de que los objetos en caída libre se mueven a lo largo de las geodésicas, líneas del mundo similares al tiempo que maximizan el tiempo adecuado en ellos, es decir, satisfacen

$$\delta\int {\rm d}t_{\rm proper}=0$$ y estas dos ecuaciones: las ecuaciones de Einstein que describen el campo gravitacional creado por las fuentes de gravedad; y las ecuaciones geodésicas que describen cómo reaccionan las sondas al campo gravitacional, pueden usarse para derivar $$\frac{GMm}{r^2} = m\vec{\ddot x }$$ o ecuaciones clásicas similares (agregue el vector unitario al lado izquierdo arriba). Por supuesto, cuando uno lo hace, debe conocer la descripción natural de la gravedad clásica en términos del potencial gravitacional, la ecuación de Poisson que obedece y otras cosas. En el límite newtoniano, $g_{00}$componente del tensor métrico depende en gran medida del potencial gravitatorio $\Phi$como $g_{00}=1+2\Phi/c^2$, como se puede ver al simplificar las ecuaciones de Einstein en el límite no relativista donde se reducen principalmente a la ecuación de Poisson, y esto influye en las geodésicas, etc.

También se puede estudiar el movimiento de objetos que no caen libremente en la relatividad general y derivar las ecuaciones para objetos influenciados por muchas fuerzas, aunque el formalismo puede parecer "avanzado" en el lenguaje de la relatividad general y uno recicla algunos conceptos de la física clásica, de todos modos. .