Comprender la definición de base tangente

La base que estás buscando no es$({\partial P\over\partial r},{\partial P\over\partial \theta})$; es$({\partial\over\partial r},{\partial\over\partial\theta})$.

Los vectores tangentes especifican las direcciones en las que puede obtener derivadas, por lo que puede identificar un vector tangente con el operador que deriva en esa dirección. Para el vector tangente${\partial/\partial r}$, el operador se puede describir aproximadamente como "tomar la derivada direccional en el$r$dirección", o un poco menos aproximadamente como "tomar la derivada en la única dirección en la que la derivada de$r$es$1$y la derivada de$\theta$es$0$". Del mismo modo (con$r$y$\theta$al revés) para$\partial/\partial\theta$.

cuando aplicamos$\partial/\partial r$(o$\partial /\partial\theta$) a una función$f$, llamamos al resultado$\partial f/\partial r$(o$\partial f/\partial\theta)$.

Lo anterior es la idea principal; lo que sigue es un poco más complicado y podría o no ser más de lo que desea en este momento. Quizá quieras volver y releerlo de vez en cuando.

I. Un vector tangente$T$en$P$es (¡por definición!) un operador que toma funciones diferenciables definidas cerca$P$y los convierte en escalares. Se requiere cumplir varias condiciones:

En primer lugar, debe ser lineal, por lo que$T(f+g)=Tf+Tg$y$T(\alpha f)=\alpha Tf$(dónde$f$y$g$son funciones y$\alpha$es cualquier escalar).

A continuación, si$f$y$g$coincido en un barrio de$P$, entonces$T(f)$debe ser igual$T(g)$.

A continuación, si$f$es cualquier función constante, entonces$T(f)$debe ser cero.

A continuación, si$f$es un producto de dos funciones diferenciables que se anulan en$P$, entonces$T(f)$debe ser cero.

II. Comience con cualquier sistema de coordenadas definido cerca$P$--- decir$(x,y)$. Entonces es posible probar que existe exactamente un vector tangente$T$tal que$T(x)=1$y$T(y)=0$. Llamamos a ese vector tangente${\partial\over\partial x}$. Del mismo modo, solo hay un vector tangente$U$tal que$U(y)=1$y$U(x)=0$. Llamamos a ese vector tangente${\partial\over\partial y}$.

O comience con un sistema de coordenadas diferente, como$(r,\theta)$. Busque el único vector tangente que toma$r$a$1$y$\theta$a$0$. Ese vector tangente se llama$\partial\over\partial r$. El único vector tangente que toma$\theta$a$1$y$r$a$0$se llama${\partial\over\partial \theta}$.

(Curva peligrosa: la coordenada$r$puede ser parte de más de un sistema de coordenadas. El vector tangente$\partial/\partial r$será diferente según el sistema de coordenadas con el que comience. Así que si su sistema de coordenadas es$(r,\theta)$, entonces${\partial/\partial r}$es un vector tangente que toma$\theta$a cero; si su sistema de coordenadas es$(r,y)$entonces${\partial/\partial r}$es un vector tangente que toma$y$a cero, y a pesar de tener el mismo nombre, ¡no son el mismo vector tangente!)

Por supuesto, probablemente quieras pensar geométricamente en los vectores tangentes, lo cual está bien, pero hay una correspondencia uno a uno entre tu imagen geométrica de un vector tangente y la definición algebraica de un vector tangente como operador --- y vale la pena aprender a ir y venir entre los dos.

No hay nada a priori sobre los sistemas de coordenadas. No tienen significado físico y son inventados por humanos, no por la naturaleza.

Le recomiendo que lea la discusión de Misner, Thorne y Wheeler en Gravitation sobre cómo las coordenadas son como números de teléfono asignados simplemente para realizar un seguimiento de qué eventos en el espacio-tiempo están cerca de qué otros eventos. (Esto fue en la década de 1970, cuando dos casas con números de teléfono numéricamente cercanos estaban geográficamente cerca una de la otra).

Los puntos y los vectores pueden considerarse objetos fundamentales y operarse sin un sistema de coordenadas. Uno solo necesita un sistema de coordenadas para medir cosas. Este enfoque generalmente se enfoca en vectores y representa puntos como desplazamientos sin pérdida de generalidad. En consecuencia, haré lo mismo y me centraré en Vectores.

Hay muchas propiedades de los vectores que se pueden describir geométricamente, en lugar de con números. Por ejemplo, el producto escalar$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$se define como$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|sin\theta$, donde theta es el ángulo entre ellos. Esto es invariable en todos los sistemas de coordenadas en los que podría medir el vector. Puede pensar en ello como$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sqrt{(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_nb_n)}$, que tiene sentido en un sistema de coordenadas dado, pero no es necesario tener el sistema de coordenadas.

Una propiedad de los vectores es que en un espacio de N dimensiones, N vectores linealmente independientes forman una base . Si tienes una base,$\mathbf{b_1} \mathbf{b_2} \ldots \mathbf{b_n}$puedes escribir cualquier vector arbitrario$v$como$c_1\mathbf{b_1} + c_2\mathbf{b_2} + \ldots + c_n\mathbf{b_n}$. El conjunto de$c$Los valores que surgen de esto son independientes de cualquier sistema de coordenadas (depende de los vectores de base particulares que elija).

Donde entran en juego los sistemas de coordenadas es cuando se desea escribir un vector como$<c_1, c_2, \ldots, c_n>$, y desea definir las operaciones vectoriales como operaciones algebraicas en estos componentes. La diferencia entre este y el ejemplo de base anterior es que, con un sistema de coordenadas, asumimos que alguna base es más importante que otras y comenzamos a definir nuestros vectores con respecto a esa base. Eso es simplemente una elección.

Incluso sin tal base, las identidades vectoriales son ciertas. En un espacio euclidiano,$|\mathbf{b}-\mathbf{a}|+|\mathbf{c}-\mathbf{b}| \ge |\mathbf{c}-\mathbf{b}|$, independientemente de si describe estos vectores en términos de sus coordenadas o no.

Este pensamiento luego se extiende a los sistemas de coordenadas curvilíneas, que permiten casos más sofisticados como las coordenadas polares donde las bases no siempre son vectores, sino curvas. Esto requiere una gran cantidad de complejidad adicional (como comprender las bases covariantes y contravariantes), pero independientemente, ¡todo funciona sin especificar un sistema de coordenadas!

Yo mismo me encontré con este tipo de diversión cuando escribía software para una utilidad de conversión de cuadros. Es muy difícil desarrollar una notación para un vector que sea fácilmente procesada por una computadora y que no dependa de un sistema de coordenadas. Tuve que definir un sistema de coordenadas "estándar" para cada uno de mis marcos (que resultó ser un sistema de coordenadas cartesiano normal) y establecer que todos los vectores se representaron en componentes usando ese sistema de coordenadas para las operaciones de encuadre. En la revisión por pares, fue muy difícil lograr que las personas distinguieran entre "ECEF", que es un sistema de coordenadas, y "The Earth Fixed frame", que era un marco. El acoplamiento entre ellos era tan fuerte que era difícil ver por qué tenían que separarse.

el derivado de$P$puede parecer confuso en la forma en que lo has presentado, pero en realidad estás malinterpretando lo que$P$es. Un punto se puede describir en términos de$(r,\theta)$, al igual que un punto puede describirse en coordenadas cartesianas como$(x,y)$pero ambos se refieren solo al punto en sí, NO a la función en la que está contenido.

El punto no es una función y por lo tanto no existe tal cosa como$\frac{\partial P}{\partial r}$o$\frac{\partial P}{\partial\theta}$.

Si preguntas cuánto cuesta el punto$P$cambiar como$r$cambios$\frac{\partial P}{\partial r}$la respuesta es que no, los puntos no cambian.$\frac{\partial P}{\partial r} = 0$. Similarmente$\frac{\partial P}{\partial\theta} = 0$.

Sin embargo, lo que se puede preguntar es cuánto cambian individualmente las componentes x e y del punto con respecto a un cambio en$\theta$o$r$:

Podemos encontrar: ($\frac{\partial X}{\partial\theta}$,$\frac{\partial Y}{\partial\theta}$) , ($\frac{\partial X}{\partial r}$,$\frac{\partial Y}{\partial r}$)

para hacer esto necesitas definir tus coordenadas X e Y de un punto como funciones de r &/o$\theta$. Esto se puede hacer de manera bastante simple usando las siguientes definiciones

porque$\theta$) =$\frac{x}{r}$

pecado($\theta$) =$\frac{y}{r}$

r =$\sqrt{x^2 + y^2}$

Por ejemplo, digamos que tenemos una función polar simple:

$r = cos(\theta)$

una sustitución revela

$\sqrt{x^2 + y^2}= cos(\theta)$

$x^2 = cos(\theta)^2 - y^2$

$x = \sqrt{cos(\theta)^2 - y^2}$

pero el pecado$\theta$) =$\frac{y}{r}$entonces$y = rsin(\theta)$

*pero para este problema hemos definido r en términos de theta, entonces$y = cos(\theta)sin(\theta)$

Ahora con otra sustitución podemos definir x únicamente en términos de r y$\theta$

$x = \sqrt{cos(\theta)^2 - cos(\theta)sin(\theta)}$

Desde aquí podrías resolver para$\frac{\partial X}{\partial\theta}$, o usando nuestra ecuación polar inicial, podría reescribir en términos de r y resolver para$\frac{\partial X}{\partial r}$

La conversión de polar a cartesiano a veces es bastante molesta, pero es la única forma de hacerlo. Y si quisiera encontrar qué tan rápido se movía el punto en términos de desplazamiento con respecto a$\theta$podrías hacer una suma pitagórica de las derivadas parciales de X e Y. Esto es lo más cerca que vas a estar de un "$\frac{\partial P}{\partial\theta}$", lo mismo vale para$\frac{\partial P}{\partial r}$

$\frac{\partial P}{\partial\theta}$=$\sqrt{\frac{\partial X}{\partial\theta}^2+ \frac{\partial Y}{\partial\theta}^2}$