¿Por qué no vemos la derivada covariante en la mecánica clásica?

Me pregunto por qué he visto la derivada covariante por primera vez en relatividad general .

Partiendo del punto de que la derivada covariante generaliza el concepto de derivada en el espacio curvo (aunque creo que es mejor considerarla como la extensión de la derivada tal que es covariante bajo un cambio de coordenadas). Para ello introducimos los símbolos de Christoffel Γ j k i .

En el espacio-tiempo curvo tenemos símbolos de Christoffel que no desaparecen globalmente Γ j k i ≠ 0 , pero en general Γ j k i ≠ 0 no significa que estemos en un espacio-tiempo curvo. Por ejemplo, si considero el espacio-tiempo de Minkowski con coordenadas cartesianas, gracias a la transformación de Lorentz, si los Gammas son cero en un marco de referencia, son cero en cada referencia de marco, pero podría haber Γ j k i ≠ 0 incluso en espacio-tiempo plano con coordenadas polares, ya que los Gammas no se transforman como un tensor en este caso debido a la parte no tensorial de la ley de transformación para Γ j k i bajo un cambio de base.

Si lo que dije antes es cierto (un gran si), entonces interpretaría esto en mecánica clásica diciendo que en coordenadas cartesianas, los vectores base { mi ^ X , mi ^ y }, sólidas en un punto de una curva, son constantes si el punto se mueve a lo largo de la curva.

Si bien creo que no puedo decir lo mismo de { mi ^ r , mi ^ θ }, como mover un punto a lo largo de la curva en este caso los vectores tangentes a las líneas de coordenadas no son constantes (rotan mientras el punto se mueve). Por eso creo que debería ver los símbolos de Christoffel incluso en la mecánica clásica, para reflejar la propiedad de los vectores { mi ^ r , mi ^ θ } que varían a lo largo de la curva.

Respuestas (3)

No ves la derivada covariante con tanta frecuencia porque el espacio plano tiene isometrías que hacen que las coordenadas cartesianas sean mejores, y en estas coordenadas no hay símbolos de Christoffel, por lo que los usamos tanto como sea posible. Pero mira la fórmula para la divergencia de una función. F = F r ^ r ^ + F θ ^ θ ^ en coordenadas polares:

∇ ⋅ F = 1 r ∂ ( r F r ^ ) ∂ r + 1 r ∂ F θ ^ ∂ θ = ∂ F r ^ ∂ r + 1 r F r ^ + 1 r ∂ F θ ^ ∂ θ .

Eso 1 / r en el término medio sin derivados viene de los símbolos de Christoffel! Entonces, la derivada covariante definitivamente está ahí, pero en lugar de usar los símbolos de Christoffel, generalmente la calculamos usando la regla de la cadena y el hecho de que los vectores de base cartesiana tienen derivada cero. Después de todo, las derivadas del vector base son los símbolos de Christoffel, por lo que el método no es tan diferente.

Un comentario final: los vectores base ortonormales { r ^ , θ ^ } en coordenadas polares no son los vectores base { ∂ / ∂ r , ∂ / ∂ θ } sabemos por geometría diferencial, porque estas últimas no son ortonormales. La relación es sencilla:

r ^ = ∂ ∂ r θ ^ = 1 r ∂ ∂ θ ,

así que tenga esto en cuenta al aplicar las fórmulas. En geometría diferencial, tendemos a escribir los componentes de los vectores con respecto a la base derivada, pero las fórmulas que conocemos del cálculo más básico (como mi fórmula de divergencia) se escriben en términos de la base ortonormal.

¡así que conozco la respuesta desde el primer curso de física! eso es algo que me da que pensar ahahha. En la práctica puedo decir que los Gammas en mecánica clásica son simplemente los términos dados por la variación de los vectores base. Muchas gracias por la respuesta
@Frappa Sí, pero tenga en cuenta que en el caso relativista general, la conexión es un campo físico 'real', no trivial, que no se puede transformar globalmente. Lo mismo ocurre con (otras) teorías de calibre.
@DoctorNuu Sí, el hecho de que los gammas no se puedan transformar globalmente está claro (realmente no puedo decir cuál es el impacto en las teorías de calibre). Saliéndome un poco del tema, si no me equivoco. Como los gammas se desvanecen localmente, significa que no podemos tener un observador intertial global en GR y, por lo tanto, la transformación de Lorentz aparece como un caso especial para el cambio de marco de referencia, mientras que en general debería considerar los diferentes difeomorfismos. ¿Está bien? lo siento si te estoy molestando
¿Su análisis se generaliza a n-dimensiones en theta o hay múltiples términos cruzados?
@cumfy no estoy exactamente seguro de lo que quieres decir. No hice un análisis general, pero en general puede haber más o menos términos, dependiendo de las dimensiones, las coordenadas y qué es exactamente lo que estás calculando.
Lo siento, es mi culpa. Simplemente no tengo claro si theta es un vector o un escalar. Muchas gracias.
@cumfy θ es una de las funciones de coordenadas en el "sistema de coordenadas polares". Cada una de estas funciones de coordenadas se puede utilizar para definir un vector tangente; es decir, dada una función de coordenadas θ ( ⋅ ) , puede definir un vector tangente asociado ∂ ∂ θ en cada punto Este tipo de discusión generalmente se trata con mucho cuidado en geometría diferencial/buenos libros de cálculo multivariable.

El símbolo de Chrisoffel, o la conexión con la métrica, o simplemente la conexión, es el resultado de tomar la derivada de un campo vectorial, lo que puede hacer que el campo vectorial resultante gire.

Para determinar si una variedad es intrínseca o extrínsecamente curva, debe calcular el tensor de curvatura de Riemann.

Por ejemplo, para los espacios euclidiano y de Minkowski, el tensor de curvatura de Riemann es cero, ya que ambos espacios son extrínsecamente planos, o simplemente espacios planos.

Sin embargo, es posible incrustar una superficie intrínsecamente curva en un espacio plano, en cuyo caso uno o posiblemente más símbolos de Chrisoffel pueden no ser cero, pero el tensor de Riemann seguirá siendo cero.

La magia de las variedades semi-Riemann es la conexión conocida como Levi-Civita, que es única.

Otro punto a considerar es que en la mecánica hamiltoniana la estructura simpléctica es independiente de una métrica. En el caso regular, no degenerado, esta estructura puede retrotraerse al paquete tangente y al dominio de la formulación lagrangiana.

Por lo tanto, no necesita comenzar con la derivada covariante para la mecánica clásica y, en su lugar, puede recuperar una descripción más general y abstracta.

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