¿Por qué es (Ker β)0=(Ker α)0(Ker β)0=(Ker α)0(\textrm{Ker } \beta)^0 = (\textrm{Ker } \alpha)^0

Supongo que después de cambiar tu$\beta$a un múltiplo constante de él (que todavía se encuentra en$P'$automáticamente), podrá elegir tal X en el álgebra de la mentira que sea distinto de cero al pasar al cociente.

Esto se debe a que, si esto no sucede, centralizador de$ker(\alpha)$consistiría en su toro máximo más algo en el radical unipotente. Y esto lo haría solucionable, lo que contradice el hecho de que está en$P'$

(Después de 5 años, ciertamente ya ha resuelto esto; pero no se aceptó ninguna respuesta, así que pensé en escribirlo para cualquier otra persona que haya encontrado el problema).

A menudo es importante comprender, mientras se lee a Springer, que todas las construcciones se realizan en la categoría de grupos suaves . Así, Springer quiere decir por$\ker(\beta)^\circ$¿Qué es realmente el esquema reducido suave?$\ker(\beta)^\circ_\text{red}$subyacente al componente de identidad del núcleo teórico del esquema de$\beta$(para que Springer$\ker(\beta)^\circ$es un toro, en lugar de una extensión infinitesimal de un toro). En términos de retículas de caracteres, la diferencia es que el grupo de caracteres del esquema teórico$\ker(\beta)^\circ$podría tener$p$-torsión, mientras que el grupo de personajes de Springer$\ker(\beta)^\circ$cocientes de esto$p$-torsión (por lo tanto, está libre de torsión, ya que la otra torsión se eliminó al pasar al componente de identidad).

$\DeclareMathOperator\X{X}$La red de caracteres de$T/\ker(\beta)$es$\mathbb Z\beta \subseteq \operatorname X^*(T)$, más o menos por definición del núcleo como el subgrupo normal más pequeño tal que$\beta$factores a través del cociente. La red de caracteres de$T/\ker(\beta)^\circ$en el sentido teórico del esquema, elimina cualquier posible cociente de étale de$\ker(\beta)$(en el lado del grupo) matando a todos los principales a$p$torsión en$\X^*(\ker(\beta)) \cong \X^*(T)/\X^*(T/\ker(\beta))$. Es decir, la red de caracteres de$T/\ker(\beta)^\circ$en el sentido teórico del esquema consiste en todos los caracteres de$T$algunos primos-a-$p$múltiplo de los cuales se encuentran en$\X^*(T/\ker(\beta)) = \mathbb Z\beta$. En otras palabras, es$\mathbb Z_{(p)}\beta \cap \X^*(T)$. Finalmente, utilizando el sentido de Springer, la red de caracteres de$T/\ker(\beta)^\circ_\text{red}$consta de todos los caracteres de$T$algunos múltiplos de los cuales se encuentran en$\mathbb Z\beta$, donde ahora permitimos múltiplos divisibles por$p$. En otras palabras, es$\mathbb Q\beta \cap \X^*(T)$. Esto muestra que dos personajes de$T$tener el mismo kernel conectado suave si y solo si uno no es un$0$múltiplos racionales del otro.

Tuve que ir a la caza de la definición de$P'$, que se encuentra en §7.1.4. Los caracteres$\pm\alpha'$—de los cuales eliminaré los números primos porque, como señala Springer, en realidad son caracteres de$T$—son los no-$0$pesos de (la imagen de)$T$en$\operatorname{Lie}(G_\beta)$. Desde$\ker(\beta)^\circ_\text{red}$actúa trivialmente sobre$\operatorname{Lie}(G_\beta) = \operatorname{Lie}(\operatorname C_G(\ker(\beta)^\circ_\text{red})) = \operatorname C_{\operatorname{Lie}(G)}(\ker(\beta)^\circ_\text{red})$, tenemos eso$\alpha$se encuentra en$\X^*(T/\ker(\beta)^\circ_\text{red}) = \mathbb Q\beta \cap \X^*(T)$. Desde$\alpha$no es trivial por el Lema 7.2.3, hemos terminado.

(Dicho sea de paso, después de haber trabajado con el núcleo conexo más pequeño, podemos demostrar que habríamos obtenido la misma respuesta si hubiéramos trabajado con el más grande; porque, dado que$\ker(\beta)^\circ$en el sentido teórico de esquemas contiene Springer's$\ker(\beta)^\circ_\text{red}$, se invierte la contención de centralizadores, dando que$\operatorname C_G(\ker(\beta)^\circ)$está contenido en$\operatorname C_G(\ker(\beta)^\circ_\text{red})$. Así podemos reemplazar$G$por$C_G(\ker(\beta)^\circ_\text{red})$, y supongamos que$\ker(\beta)^\circ_\text{red}$es central en primer lugar. afirmo que$\ker(\beta)^\circ$, e incluso$\ker(\beta)$es central en$G$. Pero entonces$G$es de rango semisimple$1$, y la clasificación en §7.3.2 muestra que solo hay dos no-$0$pesos de$T$en$\operatorname{Lie}(G)$, que por lo tanto debe ser$\pm\beta$, de modo que, como sospechabas,$\alpha = \pm\beta$, y el centro de$G$es precisamente el núcleo de$\beta$.)