¿La definición más general de Borel y álgebras de mentira parabólicas?

Ciertamente hay fuentes que definen las subálgebras de Borel y las subálgebras parabólicas en general, por ejemplo, en el libro "Lie Algebras and Algebraic Groups" de Patrice Tavel y Rupert WT Yu. "Generalizamos las definiciones de subálgebras de Borel y subálgebras parabólicas a álgebras de Lie arbitrarias y establecemos las relaciones entre los objetos de grupo y los objetos del álgebra de Lie".

Esto contiene los detalles que queremos (Capítulo$29$).

Al menos para$\mathfrak{g}$real semisimple hay una buena definición sin usar subálgebras de Lie máximas resolubles. Una subálgebra$\mathfrak{p}\leq\mathfrak{g}$es parabolica si$\mathfrak{p}^\perp\leq\mathfrak{p}$es nilpotente, donde$\mathfrak{p}^\perp$es el polar con respecto a la forma Matar. Creo que esta definición podría extenderse a otros casos también.

Bourbaki, Lie Groups and Algebras , cap. VIII §3 nn. 3--5, utiliza la siguiente definición. El escenario es:$\mathfrak g$es un álgebra de Lie reductiva sobre un campo$k$ de característica$\mathbf{0}$.

Una subálgebra$\mathfrak a \subseteq g$se llama Borel/parabólica si, para una clausura algebraica$\bar k \vert k$, la subálgebra$\mathfrak a \otimes_k \bar k \subseteq \mathfrak g \otimes_k \bar k$es Borel/parabolica.

(Donde se usa que sobre un campo algebraicamente cerrado$\bar k$, Borels y parabólicas se definen en una de las formas bien conocidas, de manera equivalente mediante alguna elección de subálgebra de Cartan y subconjuntos apropiados del sistema raíz correspondiente.)

Entonces, básicamente, un Borel o parabólico es algo que después de la extensión escalar a un cierre algebraico se convierte en un Borel o parabólico. Un buen efecto secundario de esto es que para cualquier extensión escalar$K \vert k$, uno entiende eso$\mathfrak a \subseteq \mathfrak g$es Borel/parabólica si y sólo si la extensión escalar$\mathfrak a_K$es Borel/parabólica en la extensión escalar$\mathfrak g_K$.

Claro que lo que pasa ahora es que muchos$\mathfrak g$no contienen subálgebras de Borel en absoluto ($\mathfrak g$siempre es una parabólica, pero en algunos casos es la única parabólica). Pero eso en realidad se convierte en parte de las clasificaciones: las álgebras de mentira semisimple sin parabólicas adecuadas son anisótropas (sobre las reales, "compactas"); Las álgebras de mentira semisimples que contienen algo de Borel son cuasi-divididas .

Si bien excluye el caso notoriamente problemático de la característica positiva, la generalidad de esta definición se aplica notablemente a las álgebras de Lie semisimples sobre los reales,$p$-adics y campos de números, y deben compararse con otras definiciones para semisimples reales en otras respuestas. Lo usé libremente en mi tesis sobre álgebras de Lie semisimples sobre características.$0$campos , centrándose más en el$p$-caso ádico.