El normalizador del radical unipotente es el normalizador del Borel?

Esto es cierto. Dejar$T$Sea un toro máximo de$B$, y deja$\Delta$ser las raíces simples de$T$en$U$. Entonces

$$(G,B,N_G(T),W)$$ es un par BN, donde $W = N_G(T)/T$es el grupo de Weyl. Los únicos subgrupos de $G$que contiene $B$son los subgrupos parabólicos estándar. Desde $U$es un subgrupo normal de $B$, $N_G(U)$contiene $B$.

Si suponemos la contención$B \subseteq N_G(U)$es estricto, entonces$N_G(U)$contiene un subgrupo parabólico de la forma$P_{\alpha}$para algunos$\alpha \in \Delta$. Entonces$P_{\alpha}$tiene una descomposición de Levi como$M_{\alpha}N_{\alpha}$, dónde$M_{\alpha} = Z_G((\textrm{Ker}(\alpha)^0)$.

$T$tiene índice dos en$N_G(T) \cap M_{\alpha}$. Dejar$n$ser un elemento de$N_G(T) \cap M_{\alpha}$que no está en$T$. Entonces$n \in N_G(U)$, pero$nU_{\alpha}n^{-1} = U_{-\alpha} \not\subseteq U$, contradicción.

Por un razonamiento similar, si$P$es cualquier subgrupo parabólico de$G$, y$N = \mathscr R_u(P)$, entonces el normalizador de$N$es$P$.