Ejemplos de subgrupos de raíz, parabólica y borel correspondientes a raíces

También soy un principiante en este campo. Lo siguiente es un ejemplo.

Para$G=GL_n$,$T=\{\mathrm{diag}(c_1,\cdots c_n),c_i\in G_m\}$el conjunto de matrices diagonales en$G$.$T\simeq G_m^n$es un toro de$G$.

1. Considere el grupo de personajes$X^*(T)$. Consiste en una base natural

   $$\epsilon_j:T\rightarrow G_m,\quad \epsilon_j(\mathrm{diag}(c_1,\cdots c_n))=c_j$$ cada personaje de$T$es un$\mathbb{Z}$-combinación lineal de$\epsilon_j$.

2. $Lie(G)=\mathfrak{gl}_n$, el conjunto de$n\times n$matices tiene una base natural$E_{ij}$, la matriz con$1$en$(i,j)$y$0$de lo contrario.

3. Para$t=\mathrm{diag}(c_1,\cdots c_n)\in T$, considerar la acción conjunta sobre$E_{ij}$.

   $$\begin{eqnarray*} \mathrm{Ad}t.E_{ij}=\begin{cases}E_{ij},&\quad i=j\\ (c_ic_j^{-1})E_{ij}=(\epsilon_i-\epsilon_j)(t)E_{ij}&\quad i\neq j\end{cases} \end{eqnarray*}$$ Muestra que$E_{i,i}$están en el espacio de peso cero, y$E_{ij},i\neq j$son espacios de peso distintos de cero$\alpha_{ij}=\epsilon_i-\epsilon_j$.

4. Así, el sistema de raíces de$G=GL_n$es

   $$\Phi=\{\pm\alpha_{ij}=\pm(\epsilon_i-\epsilon_j),1\leq i< j\leq n\}.$$ Se puede elegir un conjunto de raíces positivas $$\Phi^+=\{\alpha_{ij}=(\epsilon_i-\epsilon_j),1\leq i< j\leq n\}.$$ y el conjunto de raíces simples $$\Delta=\{\alpha_{i,i+1}=(\epsilon_i-\epsilon_{i+1}),1\leq i< j\leq n\}.$$ Es fácil ver que los elementos en$\Phi$son$\mathrm{Z}$-combinación lineal de$\Delta$y elementos en$\Phi^+$son con coeficientes no negativos.

Nosotros consideramos$X_*(T)=\{\lambda^\vee:G_m\rightarrow T\}$, el conjunto de$1$-subgrupos de parámetros.

1. Es fácil ver eso$X_*(T)$es gratis$\mathbb{Z}$-módulo con generadores

   $$\begin{eqnarray} \epsilon_j^\vee:G_m\rightarrow T,\quad c\mapsto \mathrm{diag}(1,\cdots c,\cdots 1) \end{eqnarray}$$

2. Considere la composición:

   $$\begin{eqnarray} \epsilon_j\circ\epsilon_i^\vee:G_m\rightarrow T\rightarrow G_m \end{eqnarray}$$ Es fácil ver eso$\epsilon_j\circ\epsilon_i^\vee=0$si$i=j$, y$\epsilon_j\circ\epsilon^\vee_j=1$es el mapa de identidad en$G_m$. Así tenemos un$\mathbb{Z}$-mapa binlineal $$\begin{eqnarray} X^*(T)\times X_*(T)\rightarrow \mathbb{Z},\quad (\lambda,\mu^\vee)\mapsto\lambda\circ\mu^\vee \end{eqnarray}$$ y$\{\epsilon_i\}$y$\{\epsilon_i^\vee\}$son los duales$\mathrm{Z}$-base.

3. Dado$\alpha_{ij}=\epsilon_i-\epsilon_j$. Considerar$\alpha_{ij}^\vee=\epsilon_i-\epsilon_j$. es un elemento en$X_*(T)$y uno tiene

   $$\alpha_{ij}\circ\alpha_{ij}^\vee= \epsilon_i\circ\epsilon_i^\vee+(-\epsilon_j)\circ(-\epsilon_j^\vee)=2.$$ De este modo$\alpha_{ij}^\vee$son las raíces de$\alpha_{ij}$. El conjunto de corroots son $$\Phi^\vee=\{\pm\alpha_{ij}^\vee=\pm(\epsilon_i-\epsilon_j),1\leq i<j\leq n\}$$

Ahora tenemos el dato raíz de$G=GL_n$. También hemos elegido un conjunto de raíces positivas$\Phi^+$como anteriormente. Para cada$\alpha_{ij}\in\Phi^+$, como el argumento anterior, el espacio raíz correspondiente es

$$\mathfrak{gl_n}_{\alpha_{ij}}=\mathbb{C}E_{ij}.$$ En términos generales, el toro $T$y todos los espacios de raíz positivos corresponden a la matriz triangular superior, que es solo el subgrupo Borel.